27.Смешанное произведение трех векторов

28.Расстояни между двумя точками на плоскости

Расстояние между двумя точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой: 1. d= (x2−x1)2+(y2−y1)2 Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным.поэтому корень берется с одним знаком (плюс).

29.Деление отрезка в данном отношении

Расстояние d между двумя точками  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок  , ограниченный точками  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ), в отношении  , определяется по формулам

,  ,  .

В частности, при   имеет координаты середины данного отрезка:

,  , 

30. Угловой кооэфициент прямой на плоскости

Угловой коэффициент прямой — коэффициент   в уравнении   прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией.^[1]

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен  , то естьпроизводной уравнения прямой по x.

При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая. y=kx+b

Прямые   и   перпендикулярны, если  , а параллельны при  .

31.Уравнение прямой с угловым коофициентом. Условие паралельности иперпендикулярности двух прямых.

Пусть заданы:а) точка   на оси ординат;б) угол   (рис.3.21,а).

Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины  .Величину, равную тангенсу угла  , который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают   (рис.3.21,а).

Выберем на прямой произвольную точку  , отличную от  , т.е.  . Запишем уравнение (3.16) при  :

Отсюда 

Подставляя  , получаем уравнение

(3.18)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (или уравнением прямой, разрешенным относительно  ).

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.  tgφ₁=tgφ₂ или k₁=k₂ . Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1k₁k₂=-1

32. Уравнение прямой проходящее через одну или две данные точки.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,y - y₁ = k(x - x₁).     (1)Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:      (2)Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле      (3). Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентомy = k₁x + B₁,         y = k₂x + B₂,     (4)то угол между ними   определяется по формуле      (5)