Задача № 6

Имеются данные о динамике средних цен на вторичном рынке жилья по районам Санкт-Петербурга, 2006 г. (руб. за м²):

Месяц	Выборгский район, Средние цены на вторичном рынке жилья
Январь	31442,3
Февраль	31837,8
Март	32703,2
Апрель	34221,2
Май	37356,6
Июнь	41722,6
Июль	48142,0
Август	57898,4
Сентябрь	65406,0
Октябрь	66967,7
Ноябрь	66841,3
Декабрь	66410,6

На основе соответствующих данных определить:

1. цепные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста;

2. базисные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.

Результаты расчетов цепных и базисных показателей динамики оформить в таблице. Показать, как взаимосвязаны цепные и базисные показатели динамики.

Выявить основную тенденцию ряда динамики:

1. методом трехчленной скользящей средней;

2. методом аналитического выравнивания.

Представить на графике фактический и выровненный ряды.

Решение

Показатели динамики - это величины, характеризующие изменения уровней динамического ряда. В зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели - результат сравнения текущих уровней с одним фиксированным уровнем, принятым за базы (обычно первый уровень). Цепные показатели динамики - это результат сравнения уровней с предшествующими, они характеризуют интенсивность изменения.

Абсолютный прирост - характеризует, на сколько единиц уровень текущего ряда больше или меньше уровня базисного или предыдущего периода, измеряется в тех же единицах, что и уровни ряда.

A_t= x_t - x₀ - базисный

а_t= x_t - x_t-1 – цепной.

Темп роста показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше или меньше базисного или предыдущего, выражается в %.

I_t = *100% - базисный

i_t = *100% - базисный.

Темп прироста показывает, на сколько процентов текущий уровень больше или меньше базисного или предыдущего.

K_t = (I_t - 1)*100% - базисный

k_t = (i_t - 1)*100% - цепной.

Иногда для анализа рассчитывается такой показатель, как абсолютное значение 1% прироста () — отношение абсолютного прироста уровня к темпу прироста (за соответствующий период):

 = = = 0,01*х_i-1.

Средний абсолютный прирост определяется как среднее арифметическое из абсолютный приростов за отдельные периоды времени:

= = 3178,94 руб./м² – в среднем за месяц стоимость одного квадратного метра увеличивается на 3178,94 руб.

Средний коэффициент роста определяется, как среднее геометрическое из коэффициентов роста за отдельные периоды времени:

= = 1,07 – в среднем за месяц стоимость одного квадратного метра увеличивается в 1,07 раза.

Средний темп прироста определяют исходя из среднего темпа роста:

*100% - 100% = 1,07*100% - 100% = 7% - в среднем за месяц стоимость одного квадратного метра увеличивается на 7%.

Таблица 6.1

Расчет цепных и базисных показателей динамики

Y	31442,3	31837,8	32703,2	34221,2	37356,6	41722,6	48142,0	57898,4	65406,0	66967,7	66841,3	66410,6
A	-	395,5	1260,9	2778,9	5914,3	10280,3	16699,7	26456,1	33963,7	35525,4	35399	34968,3
a	-	395,5	865,4	1518	3135,4	4366	6419,4	9756,4	7507,6	1561,7	-126,4	-430,7
It	-	101,3	104,0	108,8	118,8	132,7	153,1	184,1	208,0	213,0	212,6	211,2
it	-	101,3	102,7	104,6	109,2	111,7	115,4	120,3	113,0	102,4	99,8	99,4
Kt	-	1,3	4,0	8,8	18,8	32,7	53,1	84,1	108,0	113,0	112,6	111,2
kt	-	1,3	2,7	4,6	9,2	11,7	15,4	20,3	13,0	2,4	-0,2	-0,6
	-	314,4	318,4	327,0	342,2	373,6	417,2	481,4	579,0	654,1	669,7	668,4

Между показателями динамики, вычисленными на цепной и базисной основе, существуют взаимосвязи:

• сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту:

= 395,5 + 865,4 + 1518 + 3135,4 + 4366 + 6419,4 + 9756,4 + 7507,3 + 1561,7 – 126,4 – 430,7 = 34968,3 = А_{декабрь} = 34968,3 – верно!

• произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста:

= 1,013*1,027*1,046*1,092*1,117*1,154*1,203*1,13*1,024*0,998*0,994 = 211,2 = I_{декабрь} = 211,2 – верно!

Проведем сглаживание ряда динамики трехквартальной скользящей:

= = 31994,4 руб./м²;

= = 32920,7 руб./м²;

= = 34760,3 руб./м²;

= = 37766,8 руб./м²;

= = 42407,1 руб./м²;

= = 49254,3 руб./м²;

= = 57148,8 руб./м²;

= = 63424,0 руб./м²;

= = 66405,0 руб./м²;

= = 66739,9 руб./м².

При аналитическом выравнивании статистические приемы сводятся к тому, что нужно подобрать математическую функцию определенного класса, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Для этого используется метод наименьших квадратов.

Ряд динамики с переменными темпами роста отображается линейной функцией:

= a + b*t,

где x_t - значение уровней фактического ряда динамики;

t – временные даты или номер соответствующего ряда динамики.

Данный ряд динамики содержит четное количество уровней, то целесообразно (для упрощения вычислений) представить t = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Так как при этом Σt = 0 в системе нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов:

.

Таблица 6.2

Расчет параметров уравнения

№	t	t2	х	х*t
1	-6	36	31442,3	-188653,8
2	-5	25	31837,8	-159189
3	-4	16	32703,2	-130812,8
4	-3	9	34221,2	-102663,6
5	-2	4	37356,6	-74713,2
6	-1	1	41722,6	-41722,6
7	1	1	48142,0	48142
8	2	4	57898,4	115796,8
9	3	9	65406,0	196218
10	4	16	66967,7	267870,8
11	5	25	66841,3	334206,5
12	6	36	66410,6	398463,6
Сумма	-	182	580949,7	662942,7

а = = = 48412,48 руб./м²;

b = = = 3642,54.

Линейная функция принимает следующий вид: = 48412,48 + 3642,54*t.

В результате сглаживания получили следующие ряд динамики, число уровней у которого меньше на 2, чем у исходного, а также с помощью аналитического выравнивания получили следующие ряды динамики:

Рис. 6.1. График фактического и выровненных рядов.