4.2.6. Вероятностная оценка случайной погрешности

Вероятность  того, что случайная величина  принимает значения в некотором интервале  записывается в виде

где  называется плотностью распределения вероятности случайной величины .

Поскольку  находится в интервале  с вероятностью равной единице

.

С учетом статистического распределения случайной величины ее среднее значение вычисляется как

.                

Статистические распределения приближенно оцениваются по значениям их моментов. Моменты случайных величин, найденные без исключения систематических составляющих, называются начальными, а моменты для центрированных распределений — центральными.

Центральный момент -го порядка для непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле

,

где  - математическое ожидание;  - дисперсия (для конечной выборки - среднеквадратичное отклонение);  характеризует асимметрию распределения, а   - безразмерный коэффициент асимметрии;  характеризует протяженность распределения,   - эксцесс, характеризует остроту вершины распределения.

Наиболее широкое распространение при обработке экспериментальных данных получил центральный момент второго порядка  который используют для оценки погрешностей измерений. Для конечной выборки (конкретного числа отсчетов )

.

Возможность использования данного выражения обусловлено тем, что оно позволяет оценить рассеяние случайной величины и тем, что значения случайных величин при экспериментальных измерениях имеют статистическое распределение, близкое к нормальному (гауссову).

Оценку асимметрии и эксцесса при конечной выборке  определяют как

,

.

Если в процессе экспериментальных измерений регистрируется сразу несколько случайных величин , каждая из которых имеет свое среднее значение  и дисперсию , тогда многомерная случайная величина  будет иметь многомерное распределение вероятностей  и   

Величины  считаются статистически независимыми, если . Если эти величины статистически связаны, для численной оценки этой связи используется смешанный момент второго порядка - корреляционный момент, или ковариация ,  черта сверху означает статистическое усреднение.

Коэффициент корреляции, лежащий в интервале , рассчитывается как

.

4.2.7. Точность и правильность измерений

Точность измерений характеризует близость их результатов к истинному значению измеряемой величины и отражает близость к нулю погрешности результата измерений.

В том случае, когда измерение выполняется с использованием шкалы интервалов и отношений, результат измерения может быть выражен как или , где X - показание средства измерения; - поправка.

Величина Х характеризует правильность показаний, а поправка - точность измерений.

Правильность результата измерения обеспечивается совпадением среднего значения измерений со значением измеряемой величины. Значение Х - величина случайная, поправка не является случайной, она характеризует относительную погрешность измерения.

На рис. 1 показано распределение плотности вероятности при точных измерениях (2) и менее точных (1).

Если значение поправки с течением времени не меняется, то при многократном измерении постоянного размера одним и тем же средством измерений (в одинаковых условиях):

,

где - средний арифметический результат измерений; m - количество измерений; - среднее значение показания при измерении; - значение поправки; =const.

Т.е. точность многократного измерения выше, но правильность такая же, как и при однократном измерении.

Рис. 4.1. Распределение плотности вероятности при различной точности измерений

Пример 1. При поверке вольтметра в нормальных условиях выполнено 100 измерений образцового напряжения в различных точках шкалы. Установлено, что дисперсия результатов равна 1,5В. Смещение среднего арифметического значения в сторону меньших значений с вероятностью 0,95 достигает 0,3В. Необходимо сравнить качество однократных и многократных измерений.

Из результатов следует, что в показания вольтметра нужно вносить поправку +0,3В.Среднеквадратическое отклонение результатов составляет: .

Если показания вольтметра U = 20В, то результат измерения можно записать в виде:

т.е.U = 17,74 ... 22,86 В.

Допустим, вольтметр снято девять показаний: 20,0; 21,0; 20,5; 21; 20,5; 21,5; 20,5; 20,5; 21,2. Тогда В.

Точность многократного измерения выше, и соответствующие показатели качества измерения при девяти отсчетах составят:

и

Результат измерения можно записать следующим образом:

т.е. U = 19,49 ... 21,19 В.

Допустим, что точность и правильность однократных измерений отдельными средствами измерений известны, но в паспортных данных приборов приводится значение поправки, которую нужно ввести в показание. Результат измерения можно рассматривать как сумму двух случайных величин: ,где m - число измерений.

Если X и подчиняются нормальному закону распределения, то точность и правильность определяют как

, .

В рассматриваемом случае поправка рассматривается как случайная величина. Такая процедура называется рандомизацией. Приведенные формулы показывают, что рандомизация повышает точность и по правильность результатов.

Пример 2. В табл. 3.3. приведены результаты измерений одного и того же параметра разными средствами измерений. Даны поправки, заимствованные из паспортных данных на средства измерений. Вычислим средние значения измеренного параметра и поправок приборов:

Необходимо определить показатели качества полученных результатов.

Дисперсии результатов и поправок будут равны

Результат измерения:

Дисперсия результата измерения:

С вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что значение (результат) не отличается от результата измерения больше, чем на , поэтому измеряемое значение .

Таблица 4.3.

Результаты измерений

Номер прибора
1	48,3	0,3
2	48,5	-0,1
3	48,2	0
4	48,5	-0,5
5	48,4	0,2
6	48,6	-0,3
7	48,5	0,1
8	48,4	0
9	48,6	-0,4
10	48,0	0,5
11	48,4	-0,1