6. Методика применения уравнений Лагранжа II рода проста:

а) определить число степеней свободы,

б) ввести обобщённые координаты,

в) вычислить обобщённые силы,

г) вычислить кинетическую энергию,

д) выполнить простые действия и получить дифференциальное уравнение движения.

Эта последовательность действий называется Лагранжевым формализмом.

7. Уравнения Лагранжа II рода (когда s – конечное число) есть обыкновенные дифференциальные уравнения.

8. Уравнения Лагранжа II рода описывают не только механические движения но и, нередко, движения немеханической природы.

ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения покоя, совершает колебания около этого положения.

Состояние покоя механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения и колебаний около этого положения не возникает.

Состояние покоя механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и в новом положении может оставаться в состоянии покоя.

Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем. Представим себе механическую систему с голономными стационарными связями, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему, как указывалось выше (§ 72), называют консервативной.

Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид (121.7):

.

Из уравнений (121.7) следует, что положениям покоя консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы.

Однако по уравнениям равновесия сил (121.7) нельзя судить об устойчивости состояния покоя в этих положениях системы. Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в теореме Лагранжа-Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя.

Для консервативной системы с одной степенью свободы положения покоя определяются одним уравнением:

(123.1)

Чтобы определить, устойчиво ли состояние покоя в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум.

В том случае, если (123.2)

то условие минимума выполнено.

Если же , то, следовательно, вторая производная не может служить критерием минимума потенциальной энергии.

В этом случае необходимо вычислить последовательные производные

Если первая, не равная нулю, производная имеет четный порядок и при этом положительна, то при потенциальная энергия имеет минимум, а, следовательно, это положение покоя системы устойчиво.

Если же первая, не равная нулю, производная имеет нечетный порядок, то при нет ни максимума ни минимума.

Критерий Лагранжа-Дирихле является достаточным (но не необходимым) условием устойчивости состояния покоя системы в поле консервативных сил.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова¹.

На рис. 264, а изображено положение покоя физического маятника, соответствующее наинизшему положению его центра тяжести. В этом положении потенциальная энергия маятника в поле силы тяжести имеет минимум и это состояние покоя является устойчивым. Если вывести маятник из этого положения, отклонив его на некоторый угол в вертикальной плоскости, то он начнет качаться вокруг оси привеса.

На рис. 264, б изображен маятник в том положении, при котором его центр тяжести занимает наивысшее положение. В этом положении потенциальная энергия маятника имеет максимум, и это состояние покоя является неустойчивым. И если вывести маятник из этого положения, то он не возвратится в первоначальное положение.

На рис. 264, в изображен шарик, находящийся на горизонтальной плоскости. Состояние покоя шарика является безразличным. Потенциальная энергия шарика в любом положении на плоскости не имеет ни минимума, ни максимума, являясь постоянной величиной, не изменяющейся при изменении положения шарика.

Примеры решения типовых расчетно-графических задач и контрольных работ раздела аналитическая механика: