Аудиторное занятие

Найти общее решение уравнения:

№141. ; .

Ответ: .

№138. . Ответ: .

№139. .

Ответ: .

№142. . Ответ: .

№189. ; .

Ответ: .

№144. ; .

Ответ: .

№144. .

Ответ: .

№155. .

Ответ: .

№155. ; у(0)=1, .

Ответ: .

№155. ; у(1)=0, .

Ответ: .

Домашнее задание

Найти общее решение уравнения:

№148. ; .

Ответ: .

№150. .

Ответ: y=C₁e^x+C₂cosx+C₃sinx-x²-3x-1.

№140. .

Ответ: .

№145. . Ответ: .

№146. .

Ответ: .

№152. .

Ответ: .

№143. ; .

Ответ: .

№153. .

Ответ: .

№151. .

Ответ: y=С₁+С₂x+C₃e^x-x⁴-5x³-15x².

№187. ; .

Ответ: .

№187. .

Ответ: .

№187. .

Ответ: .

№187. ; , .

Ответ: .

№187. ; у(0)=0, .

Ответ: .

Дополнительные задания

Найти общее решение уравнения:

№159. . Ответ: у=e^-x(C₁x+C₂).

№156. . Ответ: у=С₁е^х+C₂e^-x.

№157. . Ответ: .

№165. . Ответ: y=C₁+C₂x+C₃x²+…+C₁₀x⁹.

№158. ; .

Ответ: у=e^x(1+x).

№160. .

Ответ: у=C₁e^-x+C₂e^-2x+C₃e^-3x.

№161. y^YI+2y^Y+y^IY=0.

Ответ: у=C₁+C₂x+C₃x²+C₄x³+e^-x(C₅+C₆x).

№163. .

Ответ: y= .

№166. .

Ответ: .

Составить линейные однородные ДУ, зная их характеристические уравнения:

№167. .

№168. .

№169. k(k+1)(k+2)=0.

№170. (k²+1)²=0.

№171. k³=0.

Составить линейное однородное ДУ, если известны корни его характеристического уравнения и написать его общее решение:

№172. k₁=1; k₂=2.

№173. k₁=1; k₂=1.

№174. k₁=3-2i; k₂=3+2i.

№175. k₁=1; k₂=1; k₃=1.

Составить линейное однородное ДУ, если задана фундаментальная система решений:

№176. .

№177. 1; е^х.

№178. sin3x; cos3x.

№179. e^x; e^2x; e^3x.

№180. e^x; xe^2x; x²e^x.

№181. e^2x; sinx; cosx.

Найти общее решение уравнения:

№153. . Ответ: .

№190. .

Ответ: y=e^x-e^-x+x².

№154. .

Ответ: .

№182. .

Ответ: .

№183. .

Ответ: у=е^х(С₁+С₂х)+х³+6х²+18х+24.

№184. .

Ответ: .

№185. .

Ответ: .

№186. .

Ответ: .

№188. ; .

Ответ: .

№188. .

Ответ: .

№188. .

Ответ:

№188. ; у(1)=е, .

Ответ: .

№188. ; у(1)=е-4, .

Ответ: .

№188. ; у(0)=3, .

Ответ: .

правая часть f(x)		корни характеристического уравнения	вид частного решения
I	многочлен n-го порядка	число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s
II	- действительное число	число является корнем характеристического уравнения кратности s
III	m; - действительные числа	число является корнем характеристического уравнения кратности s
IV	a; b; - действительные числа; в частном случае одно из чисел а или b равно 0	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s
V	a; b; - действительные числа	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s
VI	многочлены степени n; m; в частном случае n или m могут равняться нулю	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s	- многочлены с неопределёнными коэффициентами; k=max{n; m}
VII	многочлены степени n; m; - действительное число	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s	- многочлены с неопределёнными коэффициентами; k=max{n; m}

A, B, … F — неопределённые коэффициенты

Решение типового варианта ИДЗ

«Дифференциальные уравнения»

Задание 1. Убедиться, что функция удовлетворяет уравнению .

►Найдём производную данной функции. .

Подставим данное выражение в заданное уравнение:

. Раскрывая скобки, и приводя подобные имеем: 2х=2х. Получили тождество. Таким образом, данная функция удовлетворяет ззаданному уравнению.◄

Задание 2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

№1. (ху²+х)dx + (y-x²y)dy=0.

►Преобразуем данное уравнение:

y(1-x²)dy=-x(y²+1)dx.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

.

Интегрируем обе части последнего равенства:

,

,

y²+1=C|x²-1|,

y²=C|x²-1|-1.

Следовательно, общим решением исходного уравнения является .◄

№2. .

►Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем их и интегрируем уравнение:

,

ln|tg x| + ln|tg y|=lnC.

Общий интеграл исходного уравнения:

tg x tg y=C.◄

№3. .

►Определим тип данного уравнения, для этого выразим :

.

Исходное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Решаем его с помощью подстановки y=tx. . Далее находим:

,

,

. Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

,

,

,

,

— общий интеграл исходного уравнения.◄

№4. , y(0)=ln 5.

►Определим тип данного уравнения, для этого выразим :

,

,

. Полученное уравнение линейное первого порядка. Решаем его с помощью подстановки y=u(x)v(x), . Имеем:

,

. (*)

1) Найдём v(x) из условия:

,

,

ln v=-x,

v=e^-x.

2) Подставляем

полученное выражение для v(x) в уравнение (*):

,

,

,

u=-ln|1-x| + lnC,

.

Тогда y= является общим решением исходного уравнения.

Для нахождения частного решения найдём С, используя начальное условие, т.е.

ln5= ,

ln5=lnС.

Следовательно, C=5. Частное решение исходного уравнения имеет вид: .◄

№5. .

►Преобразуем данное уравнение для того, чтобы определить его тип. Получим

;

. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью подстановки y=u(x)v(x), .

;

. (*)

1) Найдём v(x) из условия ,

которое является ДУ с разделяющимися переменными:

;

;

;

.

2) Полученное выражение для v(x) подставляем в уравнение (*):

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдём u(x) из данного уравнения.

;

Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяяется выражением

.◄

№6. , , . Вычислить значение полученной функции при х= -3 с точностью до двух знаков после запятой.

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к первому типу.

;

— общее решение исходного уравнения.

Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂:

; С₁ - С₂=0;

;

С₁=0; С₂=0.

Частное решение исходного урвнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

.

Вычислим значение функции у(х) при х= -3.

.◄

№7. .

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся ко второму типу (нет явно у). Сделаем замену , . Тогда

. Данное уравнение с разделяющимися переменными.

;

;

.

Возвращаемся к замене, т.е. . Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у.

;

— общее решение исходного уравнения.◄

№8. , у(1)=1, .

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к третьему типу (нет явно х). Сделаем замену , . Тогда

. Данное уравнение с разделяющимися переменными.

;

;

;

.

Возвращаемся к замене, т.е. . Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у.

;

;

— общее решение исходного уравнения.

Определим значения С₁ и С₂. использовав начальные данные. При х=1, у=1 и имеем:

,

.

Откуда 1+2С₁=0, , С₂=1.

Следовательно, искомое решение имеет вид

или .◄

№9. .

►Введём обозначения:

, .

Тогда , .

Так как , то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдём его общий интеграл:

; .

.◄

№10. а) ; б) ;

в) .

►Данные уравнения — линейные однородные. Для каждого уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения (см. таб.1) записываем общее решение.

а) ;

, k₂=2 (действительные корни, кратности один).

.

б) ;

;

(действительный корень, кратности два).

.

в) ;

, (пара сопряжённых корней α=1; β=6).

.◄

№11. .

►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; k₁=4; k₂= -1.

.

Составим у* по функции f(x)=6xe^-x, стоящей в правой части исходного уравнения. Записываем структуру его частного решения (см. таб.2 II 2. где проверяем α=-1 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=1) .

Коэффициенты А и В определим методом неопределённых коэффициентов. Для этого находим:

;

.

Подставим найденные выражения для и в исходное уравнение и, разделив обе его части на е^-х, приравняем коэффициенты при х², х¹ и х⁰. Получим систему, из которой найдём коэффициенты А и В. Таким образом, в соответствии с изложенным: ; .

Тогда .

Общее решение данного неоднородного уравнения:

у= .◄

№12. .

►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; k₁=0; k₂= -1.

.

Составим у* по функции f(x)=5x+cos2x, стоящей в правой части исходного уравнения. Данная функция представляет собой сумму функций f₁(x)=5x и f₂(x)=cos2x. Им соответсвуют два частных решения:

(см. таб.2 I 2. где проверяем α=0 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=1);

(см. таб.2 IV 1. где проверяем α= является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0).

Т.е. = .

Находим ;

.

Подставляем выражения для и в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты А, В, M, N:

, В= -5; ; .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

,

а его общее решение:

.◄

№13. ►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; . Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется:

,

а частное его решение имеет вид:

(см. таб.2 II 2. где проверяем α= -1 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s=0).

Находим:

;

.

Подставим выражения и в исходное уравнение и из полученного тождества найдём А=2, В=1. Тогда

.

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

+ .

Используя начальные условия у(0)=-1, , составляем систему для вычисления значений С₁ и С₂:

решение которой: С₁=-2; С₂=1.

Подставив значения С₁ и С₂ в общее решение, найдём частное решение исходного уравнения:

+ .◄