Аудиторное занятие
№107.
.
Ответ:
.
№108.
.
Ответ:
.
№109.
.
Ответ:
.
№117.
.
Ответ:
.
№110.
.
Ответ:
.
№111.
.
Ответ:
.
№112.
;
.
Ответ:
.
№113.
.
Ответ:
.
№133.
.
Ответ:
.
№134.
;
.
Ответ:
.
Домашнее задания
№114.
;
.
Ответ:
.
№119.
.
Ответ:
.
№118.
.
Ответ:
.
№118.
.
Ответ:
.
№120.
.
Ответ:
.
№116.
;
.
Ответ:
.
№121.
.
Ответ: y=x2-C1cosx+C2x+C3.
№126.
;
y(1)=1,
.
Ответ:
.
№131.
.
Ответ:
.
Дополнительные задания
№125.
;
.
Ответ:
.
№127.
.
Ответ:
.
№135.
.
Ответ:
.
№129.
.
Ответ:
.
№130.
.
Ответ:
.
№132.
.
Ответ:
.
№124.
.
Ответ:
.
№115.
.
Ответ:
.
№136.
;
.
Ответ:
.
№137.
.
Ответ:
.
№123.
.
Ответ:
.
№123.
.
Ответ:
.
№122.
;
.
Ответ:
.
№128.
;
.
Ответ:
.
Занятие 6 Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Цели
Знать:
вид линейного однородного и неоднородного ДУ высших порядков;
структуру общего решения линейного однородного и неоднородного ДУ;
Уметь:
находить частное и общее решения линейного ДУ;
находить частное решение методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных.
▼Уравнение вида
, (18)
где p1, p2, …, pn — константы, называется линейным ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.▲
▼Если f(х)=0 то уравнение называется линейным однородным уравнением, если f(х)¹0, то уравнение называется неоднородным. ▲
Для нахождения общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами составляем характеристическое равнение
. (19)
ÞПри составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (18) заменить у(n), у(n-1) … у соответственно на kn, kn-1 и 1.
Таблица 1
Составление общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
характер корней характеристического уравнения |
вид общего решения |
действительный простой корень k |
|
действительный корень k кратности m |
|
пара сопряжённых корней
|
|
пара сопряжённых корней кратности m |
|
Постановка задачи: Решить линейное однородное ДУ уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
.
План решения: 1. Записать характеристическое уравнение , где у(n), у(n-1) … у заменены соответственно на kn, kn-1 и 1;
2. Найдя корни характеристического уравнения составить общее решение данного уравнения, воспользовавшись таблицей 1.
Теорема
(структура общего
решения ЛНДУ).
Общим решением у
уравнения (18) является сумма его общего
решения соответствующего однородного
уравнения
=C1×у1+C2×у2
и произвольного
частного решения у*,
т.е.
y= +y*. (20)
Теорема
(о наложении решений).
Если правая часть
уравнения (18) представляет собой сумму
двух функций
,
а у*1
и у*2
— частные решения уравнений
и
соответственно, то функция
является решением данного уравнения.
Для нахождения частных решений неоднородных ДУ используют метод неопределённых коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных.