Домашнее задание

Решить уравнения:

№142. x(x+2y) dx+(x²-y²) dy=0. Ответ: C=x³+3x²y–y³.

№143. (e^x+y+siny) dx+(e^y+x+xcosy) dy=0.

Ответ: C=e^x+xy+xsiny+e^y.

№144. .

Ответ: .

№145. .

Ответ: tgxy-cosx-cosy=C.

№146. ; у(1)=1. Ответ: у=х.

№147. .

Ответ: .

№148. .

Ответ: .

№149. ; у(0)=0.

Ответ: .

№150. .

Ответ: .

Дополнительные задания

Решить уравнения:

№151. (siny+(1-y)cosx) dx+((1+x) cosy–sinx)dy=0.

Ответ: C=(1+x)siny+(1-y)sinx.

№152. (x²+siny) dx+(1+xcosy) dy=0.

Ответ: C=x³+3y+3xsiny.

№153. . Ответ: .

№154. .

Ответ: .

№155. .

Ответ: .

№156. .

Ответ: .

№157. .

Ответ: .

№158. .

Ответ:

№159. .

Ответ: .

№160. .

Ответ: .

Занятие 5

Виды дифференциальных уравнений высших порядков.

1. Уравнения, допускающие понижение порядка;

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции;

3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Цели

Знать:

• основные формы записи ДУ высших порядков;

• методы решения ДУ высших порядков.

Уметь:

• находить решения ДУ высших порядков;

• решать задачу Коши для ДУ высших порядков.

1. Уравнения, допускающие понижение порядка

Постановка задачи: Решить уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=f(x) (15).

План решения: проинтегрировав последовательно n раз данное уравнение, найдем общее решение уравнения:

= .

№16. Найти общее решение уравнения и его, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1; , .

►Данное уравнение третьего порядка. Интегрируя уравнение первый раз, получим:

.

Повторное интегрирование даёт:

.

И, наконец, получаем общее решение:

.

Воспользуемся начальными условиями: у(0)=1=1+С₃; ; , откуда С₁=4; С₂=2; С₃=0. Тогда частное решение запишем в виде

.◄

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Постановка задачи: Решить уравнение вида

. (16)

План решения: 1. Полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С₁ — произвольная постоянная.

3. Так как , имеем

.

Последовательно интегрируя k раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ

, n=k+1, — произвольные постоянные.

№17. Решить уравнение. .

►Данное уравнение второго порядка, не содержащие явно искомой функции y.

Обозначим , , где р=р(х) — новая неизвестная функция.

Тогда уравнение примет вид:

или .

Откуда или .

Так как , то . Разделяя переменные: , получаем общее решение .◄

3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

Постановка задачи: Решить уравнение вида

(17).

План решения: 1. Поскольку данное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

,

где р(у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

или .

Получаем уравнение первого порядка относительно р(у).

2. Определив тип уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим .

3. Возвращаемся к замене , получаем уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные, имеем и, интегрируя, находим .

№18. Решить уравнение .

►Уравнение второго порядка и не содержит независимой переменной х. Полагаем , .

Тогда исходное уравнение имеет вид или — линейное уравнение I-го порядка.

Решим полученное уравнение методом Бернулли. Пусть p=uv, тогда . Откуда , а .

Следовательно , или — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

;

или , где .◄