Аудиторное занятие

Решить уравнения:

№102. . Ответ: .

№103. . Ответ: .

№104. . Ответ: .

№105. . Ответ:

№106. Ответ: .

№107. (x+y²) dy=ydx. Ответ: x=y²+Cy.

№108.ydx-(x+y²siny)dy=0 Ответ: .

№109. . Ответ: .

№110. . Ответ: .

№111. . Ответ: .

№112. .

Ответ: .

Домашнее задание

Решить уравнения:

№113. . Ответ: .

№114. . Ответ: .

№115. .Ответ:y=(1+x²)(arctg²x+C)².

№116. . Ответ: .

№117. . Ответ: .

№118. . Ответ: .

№119. .

Ответ: .

№120. .

Ответ: .

№121. , .

Ответ: .

№122. . Ответ: .

Дополнительные задания

Решить уравнения:

№123. . Ответ: .

№124. . Ответ: .

№125. , у(-1)=0. Ответ: y=-(x+1).

№126. , у(0)=0.

Ответ: .

№127. , a=const.

Ответ: .

№128. . Ответ: .

№129. . Ответ: .

№130. . Ответ: , у=0.

№131. . Ответ: .

№132. . Ответ: .

№133. .

Ответ: , у=0.

Занятие 4 Уравнение в полных дифференциалах

Цели

Знать:

• основные формы записи ДУ в полных дифференциалах;

• методы решения ДУ в полных дифференциалах.

Уметь:

• находить решения ДУ в полных дифференциалах;

• решать задачу Коши для ДУ в полных дифференциалах.

▼Уравнение вида

или (14)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x;y), т.е.

.▲

Постановка задачи: Решить уравнение

.

План решения: 1. Убедиться, что исходное уравнение в полных дифференциалах, т.е. выполняется условие . Тогда исходное уравнение можно записать в виде

.

2. Для отыскания функции U(x;y) заметим, что

, .

3. Интегрируя первое равенство по х, получим

,

где — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

4. Дифференцируя U по у, имеем

,

используя, что , получим уравнение

.

5. Находим и затем U(x;y)=C.

№14. Решить уравнение .

►Преобразуем уравнение:

.

В данном случае

, .

Эти функции непрерывно дифференцируемы в области . Тогда

( ).

Поэтому — дифференциал некоторой функции U(x;y) в любой односвязной области D, не содержащей точку х=0, у=0. Следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. При этом

, .

Интегрируя первое равенство по х получим, что при

,

где — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

Дифференцируя U по у, имеем

,

тогда

.

Следовательно . Отсюда .

Таким образом, при

.◄

№15. Решить уравнение

(sin(xy)+xycos(xy))dx+(x²cos(xy))dy=0.

►Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдём производные:

;

.

Т.е. .

Найдем интегралы от P(x;y) и Q(x;y):

; .

Следовательно. С=xsinxy.◄

Аудиторное занятие:

Решить уравнения:

№134. .

Ответ: .

№135. .

Ответ: .

№136. (y³-2xy) dx+(3xy²-x²) dy=0. Ответ: C=y³x–yx².

№137. .

Ответ: .

№138. (2y-3)dx+(2x+3y²)dy=0. Ответ: C=2xy-3x+y³.

№139. .

Ответ: .

№140. .

Ответ: .

№141. .

Ответ: .