Домашнее задание
Проверить, что данная функция является решением ДУ:
№17.
,
.
№18.
,
.
№19.
.
Решить уравнения:
№20.
.
Ответ: (х-1)2+у2=С2.
№21.
.
Ответ:
.
№22.
,
у(0)=1.
Ответ:
;
у=1.
№23.
.
Ответ:
.
№24.
.
Ответ:
.
№25.
.
Ответ:
.
№26.
.
Ответ: tg2x+sin2y=C.
№27.
,
Ответ:
.
№28.
.
Ответ:
.
№29.
.
Ответ:
.
№30.
,
у(1)=-1.
Ответ:
.
№31.
Ответ:
,
№32.
,
у(1)=0. Ответ:
.
№33.
,
.
Ответ: y=-2cosx.
Дополнительные задания
Проверить, что данная функция является решением ДУ:
№34.
,
.
№35.
,
.
№36.
,
.
№37.
,
.
№38.
,
.
№39.
,
.
Решить уравнения:
№40.
.
Ответ:
.
№41.
.
Ответ:
.
№42.
.
Ответ:
.
№43.
.
Ответ:
№44.
,
у=-2
при х=2.
Ответ:
№45.
,
.
Ответ:
№46.
.
Ответ:
.
№47.
,
у(1)=2.
Ответ:
№48.
.
Ответ:
.
№49. y lny dx+x dy=0; у(1)=1. Ответ: у=1.
№50.
,
у(0)=0.
Ответ:
.
№51.
.
Ответ:
.
№52.
,
у(0)=1.
Ответ:
.
№53.
.
Ответ:
.
№54.
,
у(-1)=1. Ответ: х+у=0.
№55.
,
y(0)=0. Ответ:
.
№56.
.
Ответ: arctg
y =ln|Cx|.
№57. (x+xy) dy+(y-xy) dx=0, y(1)=1. Ответ: y-x+ln|xy|=0.
№58.
,
y(0)=1. Ответ:
№59.
.
Подстановка xy=t.
Ответ:
.
№60.
.
Подстановка xy=t.
Ответ:
.
№61.
.
Подстановка xlny=t.
Ответ:
;
х=0.
Занятие 2 Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
Цели
Знать:
основные формы записи однородного дифференциального уравнения;
методы решения однородных дифференциальных уравнений.
Уметь:
Определять, порядок функции;
находить решения однородного дифференциального уравнения ;
решать задачу Коши для однородного дифференциального уравнения.
▲Дифференциальное уравнение
называется однородным, если функция
f(x; у) есть однородная функция
нулевого порядка.▲
▲Однородное уравнение в дифференциальной форме
,
(7)
где Р(х; у) и Q(x; у) — однородные функции одинакового порядка.▲
№ 6. Определить порядок функций:
1)
;
2)
.
►1) Функция
есть однородная функция третьего
порядка, так как
=
=
=
;
2) Функция есть однородная функция нулевого порядка, так как
.
Постановка задачи 3: Решить уравнение вида
, (8)
где Р(х, у) и Q(x, у)
— однородные функции одинакового
порядка, т.е.
и
.
План решения: 1. Убедиться, что уравнение однородное;
2. Преобразуем исходное уравнение к виду
(9);
3. Ввести новую функцию t(х) с помощью подстановки y=tx, дифференцируя это равенство имеем:
;
4. Записать уравнение (9) через новую функцию:
,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными;
5. Разделяем переменные в области, где
:
;
6. Интегрируем полученное уравнение;
7. Делаем замену
;
8. Записываем общее решение или общий интеграл.
№7. Решить уравнение:
при у(1)=1.
►1)Убедимся, что уравнение однородное.
Для этого перепишем исходное уравнение
в виде
.
Здесь
,
.
Найдем
и
.
Обе эти функции – однородные первого порядка. Итак, уравнение - однородное.
2)Преобразуем исходное уравнение к виду
.
Для этого разделим на x
обе его части
.
Замечание: не всегда опеделение порядка функций является необходимостью; чаще всего бывает достаточно привести исходное уравнение к виду . Такой вид уже говорит о том, что уравнение – однородное.
3)Полагаем
,
у=tx,
.
4)Тогда уравнение принимает вид:
— уравнение с разделяющимися переменными.
5)Разделяем переменные:
- переносим слагаемые с t
в одну сторону:
;
- заменяем
отношением
:
;
- умножаем обе части на
:
.
6)Интегрируя, получаем:
ln|lnt-1|=ln|x|+ln|C| или lnt-1=Cx.
7)Делаем замену
:
.
8)Записываем общее решение:
или
Для того, чтобы получить частное решение,
подставим начальное условие в полученное
решение:
,
отсюда С=-1. Таким образом, частное
решение исходного уравнения будет иметь
вид
.◄
Постановка задачи 4: Решить уравнение
вида
(10)
Такие уравнения приводятся к однородному
с помощью замены
,
где
есть решения системы
.
№8. Решить уравнение (x-2y+3)dy+(2x+y-1)dx=0.
►Представим исходное уравнение в виде:
.
Решаем систему
например, по правилам Крамера. В данном
случае
и
,
.
Делаем замену переменных
,
и получаем в результате однородное
уравнение
.
Деля числитель и знаменатель правой
части уравнения на
и заменяя
,
получим общий интеграл этого уравнения:
- приводим уравнение к виду
:
;
- делаем замену
(Отметим, что
,
.)
и записываем уравнение через новую
функцию:
;
получили уравнение с разделяющимися
переменными. Решая его, находим
.
Далее делаем обратный переход:
и получаем
.
Возвращаясь к старым переменным
,
имеем окончательный ответ
.◄
Замечание: если
,
то следует выполнить следующую замену
.