Решение

Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.

Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее число зон равно двум.

Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рисунка следует, что расстояние от точки наблюдения О на экране до края отверстия на 2 ( ) больше, чем расстояние R₀ = b_max.

По теореме Пифагора получим

r² = (b_max + 2 )² ─ b_max² = 2λb_max + λ² ;

Учтя, что λ « b_max и что членом, содержащим λ², можно пренебречь, последнее равенство перепишем в виде:

r² = 2λb_max, откуда b_max = ;

Произведя вычисления по последней формуле, найдем, что

b_max = 1 м.

Ответ: b_max = 1 м.

Задача №3.1.2

Расстояние между точечным источником света с длиной волны λ = 0,63 мкм и экраном равно l = 3,5 м. Диафрагма с отверстием радиуса r находится в

k = 3,7 раз ближе к экрану, чем к источнику. В отверстии укладывается m = 2 зон Френеля.

О пределить радиус отверстия r.

Дано:

λ = 0,63 мкм

l = 3,5 м

k = 3,7

m 2

Найти

r_max = ?

Решение

a+b =l (1)

(2)

r₀ = (3)

Из уравнения (2)

a = kb

Подставим это значение а в уравнение (1):

kb+b = l

b(k+1) = l

b = ; следовательно а = kb = ;

ab = ;

a+b = l

Подставим значение ab и a+b в уравнение (3), получим:

r₀ = = ;

Подставив числовые значения, получим:

r₀ = 0,86 мм.

Задача №3.2.1

Определить число штрихов на l = 1 см дифракционной решетки, если при нормальном падении света с длиной волны λ = 600 нм решетка дает первый максимум на расстоянии s = 3,3 см от центрального. Расстояние от решетки до экрана L = 110 см.

Дано:

l=1 см

Решение

Число штрихов на 1 см длины решетки определяем по формуле

n_l = 1/d,

где период решетки d найдем из условия максимума для дифракционной решетки :

Условие максимума:

dsinα = kλ

(где α - угол, под которым наблюдается k-й максимум;

k – порядок дифракционного максимума).

Ввиду того, что для максимума 1-го порядка угол α мал, можно принять

sin α ≈ tg α = s/L,

следовательно, условие максимума дифракционной решетки может быть переписано в виде:

ds /L = kλ, откуда можно выразить d:

d = kλL/s ;

таким образом, число штрихов на 1 см длины решетки равен :

n_l = 1/d = s/kλL;

n_l = 500.

Ответ: На 1 см длины решетки 500 штрихов.

Задача №3.2.2

На дифракционную решетку, содержащую n = 500 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. Спектр проектируется на экран помещенной вблизи решетки линзой. Определить длину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L = 4 м. Границы видимого света:

λ_кр = 780 нм, λ_ф = 400нм.

Дано:

n l = 500 l = 1 мм

L = 4м

_λкр = 780 нм

λ_ф = 400 нм

Найти:

∆l =?

Решение

Запишем уравнение дифракционной решетки для случая дифракции красных и фиолетовых лучей:

dsin α₁= kλ_ф;

dsinα₂ = kλ_крα1

Вследствие малости углов α₁ и α₂ в случае спектра первого порядка можно принять:

sin α₁ ≈ tg α₁ = ; sinα₂ ≈ tgα₂ = .

Таким образом,

; ,

и длина спектра

∆l = l₂-l₁ = = knL(λ_кр-λ_ф) = 76 см.

Ответ: ∆l = 76 cм.

студенты	Задачи
	Геометрич. оптика		интерференция		дифракция
1	1	14	7	8	6	10
2	2	13	6	9	5	12
3	3	12	5	10	2	9
4	4	11	4	11	1	11
5	5	10	3	12	3	14
6	6	9	2	13	4	8
7	7	8	1	14	7	13