Министерство образования

Российской Федерации

Московский государственный технологический

университет "Станкин"

Егорьевский технологический институт

Им. Н.М.Бардыгина

Изучение распределения молекул идеального газа по скоростям

Методические указания

к выполнению лабораторной работы.

ЕТИ.Ф. 03

Егорьевск 2003

Составитель ст. преподаватель Никифоров В.Ю.

Рецензент К.ф-м.н. Бурмистров А.В.

В методических указаниях даны основные определения теории вероятностей и статистической физики, рассмотрено распределение молекул, движущихся в газе, по скоростям - распределение Максвелла, а так же экспериментальное подтверждение распределения Максвелла, и экспериментальное определение массы молекул в компьютерной модели идеального газа с использованием компьютерной программы ООО «Физикон» «Открытая физика 1.1» версия «Виртуальный практикум по физике для ВУЗов». В основе данных методических указаний лежит учебное пособие «Тихомиров Ю.В. Лабораторные работы по курсу физики с компьютерными моделями (Молекулярная физика и термодинамика). Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений дневной, вечерней и заочной (дистанционной) форм обучения. -М.:2003.-22 с.» Методические указания предназначены для студентов 2 вузовского курса, обучающихся по специальностям 120100, 120200, 330200,210200.

Методические указания обсуждены на заседании кафедры естественно-научных дисциплин.

Протокол № от

Заведующий кафедрой А.П. Нилов

Методические указания рассмотрены и одобрены методическим советом института

Протокол № от

Председатель совета а.Д.Семенов Изучение распределения молекул идеального газа по скоростям

1. Цель работы: Знакомство с компьютерной моделью идеального газа. Экспериментальное подтверждение распределения Максвелла.

Экспериментальное определение массы молекул в данной модели.

2 Оборудование и материалы: компьютерный класс, пакет прикладных программ для поддержки лабораторного практикума компании ООО «ФИЗИКОН» «Виртуальный практикум для ВУЗов».

3 Содержание работы.

3.1 Изучить теоретический материал.

3.2 Провести испытания по определению распределения молекул идеального газа по скоростям для заданной температуры Т₁ и заполнить таблицу аналогичную таблице 2.

3.3 Провести испытания по определению распределения молекул идеального газа по скоростям для заданной температуры Т₂ и заполнить аналогичную таблице 2.

3.4 Построить графики по данным таблиц.

3.5 Оформить отчет.

4. Теоретические предпосылки работы

1. Предмет статистической физики.

С молекулярной точки зрения физические величины, встречающиеся в термодинамике, как и в любом другом отделе макроскопической физики, имеют смысл средних значений, которые при определенных условиях можно принимать как какие-то функции макросостояния системы, состоящей из большого количества частиц. Про величины такого рода говорят, что они имеют статистический характер или они являются статистическими. Примеры таких величин: давление, плотность, температура, средний квадрат смещения частицы при броуновском движении.

Статистическая физика – относительно молодая наука. В ней рассматриваются задачи, которые, как правило, описывают явления определяющиеся поведением большого числа частиц. Для решения таких задач используются методы теории вероятностей (статистики). В молекулярной физике с помощью статистической физики объясняют многие тепловые явления.

2. Основные определения статистической физики

В статистической физике большое значение имеют представления о случайных событиях, вероятности случайных величин.

Все основные понятия теории вероятностей можно пояснить на простом примере, имеющем в статистической физике и самостоятельный интерес. Рассмотрим молекулу А, хаотически перемещающуюся внутри сосуда, который имеет форму ящика.

А

Рисунок 1 Иллюстрация определений статистической физики

Случайным событием называют явление, которое на опыте, поставленном для его наблюдения, либо имеет, либо не имеет место.

Допустим, например, что бросается монета. Что выпадает в результате бросания – герб или решка – это предсказать невозможно. Хотя движение монеты подчиняется строго законам механики, но на это движение, а также на начальные условия влияют многие случайные непредсказуемые и неконтролируемые факторы, которые делают результат бросания непредсказуемым. Однако если бросаний произведено очень много, то числа выпавших гербов и решек окажутся почти одинаковыми. И это равенство будет выполняться тем точнее, чем больше произведено бросаний. В проведенном примере и проявляется статистическая закономерность. На этом примере видно, что предсказания, которые делаются на основании статистических законов, не являются абсолютно достоверным, но являются прогнозами, которые могут и не оправдаться. Так, например, попадание молекулы А в некоторый объём ящика (рисунок 1) является так же случайным событием. Если бы молекулу А можно было сфотографировать, то на снимке она казалась бы либо в , тогда бы рассматриваемое событие имело бы место, а если вне то тогда бы событие не имело бы место.

Эксперимент по наблюдению случайных событий называют испытанием.

Величина, которая может принимать различные числовые значения с определенной вероятностью, называется случайной.

Так, например число молекул в единице объёма , выделенном в сосуде объёмом V, представляет собой соответствующий пример, так как это число принимает значения 0-1-2-3 и.т.д., и каждое из них реализуется с определенной вероятностью W(n), определяемой формулой биноминального распределения. Точно также в газе координаты и скорости отдельных молекул в некоторый момент времени не могут приниматься за числа, точное значение которых можно предсказать. Молекулы газа непрерывно движутся. Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. случайным образом. Таким образом скорости молекул также являются случайными величинами В результате в сосуде, содержащим большое количество молекул устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от температуры Т. При этом все направления векторов оказываются равноправными (равновероятными) и величины скоростей подчиняются определённой закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла(1860 г.).

Под вероятностью некоторого случайного события понимают отношение числа испытаний т, при которых это событие имело место к полному числу, при условии, что число N достаточно велико. Вероятность А события равна.

W(A)=m/N (1)

4.3 Или ВЕРОЯТНОСТЬЮ Р_i получения некоторого результата измерения называется предел отношения количества измерений, давших этот результат, (N_i) к полному числу измерений N, когда N  .

ЭЛЕМЕНТАРНОЙ вероятностью dP_V при измерении величины скорости v называется вероятность наличия скорости величиной от v до v + dv. Эта вероятность пропорциональна интервалу скорости dv: dP_V = f (v)dv, где коэффициент пропорциональности f (v)называется ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ молекул по величине скорости. Она может быть выражена через другие функции распределения

f (v) = φ(v_X)·φ(v_Y)·φ(v_Z)·4πv² = F(v)·4πv² , где φ(v_X), φ(v_Y) и φ(v_Z) - функции распределения для соответствующих проекций скоростей молекул, а F(v) - их произведение.

4.4 Распределение Максвелла - распределение молекул идеального газа по скоростям Молекулы идеального газа движутся хаотически, непрерывно изменяя направление движения из-за соударений между собой и соударений со стенками сосудов. Причем направление движения молекул являются равноправными, то есть в любом направлении движется одинаковое число молекул. А средняя квадратичная скорость молекул в газе, находящемся в состоянии равновесия при T=const, остаётся постоянной и равной <v_кв>= ₀ , где m₀ - масса молекулы газа, k=1,38 ·10^-23 Дж/К. Это объясняется тем, что в газе, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Закон Максвелла описывается некоторой функцией f (v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v) , имеющих скорость, заключённую в этом интервале. Функция f (v) определяет относительное число молекул dN (v), скорости которых лежат в интервале от v до v + dv , т.е

(1)

откуда

(2)

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашёл функцию F (v) – закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(3)

И з (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

График функции распределения приведён на рисунке 2. Относительное число молекул dN (v) , скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, находится как площадь заштрихованной на рисунке 2 полоски. Из приведённого графика следует, что функция распределения стремится к нулю при v 0 и v и проходит через максимум при некоторой скорости v_в, называемой наиболее вероятной скоростью, причём этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно v_в.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (3) по аргументу v и приравняв результат нулю, используя условие для максимума выражения f(v):

(4)

v v_в = ₀ (5)

или

v_в = ₀ = (5а).

Где - R=8,31 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная,

М - молярная масса вещества в кг/моль.

Из формулы (5а) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рисунок 3) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становиться больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остаётся неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. Поэтому, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

В молекулярно-кинетической теории пользуются понятием средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа, вычисляемой из закона распределения (3):

= = (6).

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная - v_в = 2) средняя арифметическая - = = 1,13v_в , 3) средняя квадратичная - = = 1,22v_в, представлены на рисунке 2. Распределение молекул идеального газа по энергиям определяет долю из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии = mv²/2, заключённые в интервале от до + d :

(7)

где f( ) – функция распределения молекул по энергиям.

Определим в качестве примера среднюю кинетическую энергию

(8)