Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
Дискретная математика
Методические указания к практическим занятиям
Омск
Издательство ОмГТУ
2008
Составитель: О. Н. Канева, канд. физ.-мат. наук
Для студентов специальности 230102 и направления 230100
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета
Редактор Е.Е. Дорошенко
Компьютерная верстка – Т.А. Бурдель
ИД № 06039 от 12.10.2001 г.
Сводный темплан 2008 г.
Подписано в печать 11.02.08 г. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.
Отпечатано на дупликаторе. Уч. изд.л. 2,0. Усл.-печ. л. 2,0.
Тираж 100 экз. Заказ 107.
_____________________________________________________________
Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11
Типография ОмГТУ
На практических занятиях по дисциплине «Дискретная математика» изучаются темы: «Введение в теорию множеств», «Отношения. Функции», «Графы» и «Булевы функции». В методических указаниях для каждой из тем приведены варианты индивидуальных заданий и дополнительно изложены краткие теоретические сведения по теории множеств.
В начале семестра студент получает номер варианта и в указанные преподавателем сроки сдает выполненные задания по каждому разделу.
1. Введение в теорию множеств Основные понятия теории множеств
Такие понятия, как «множество», «элемент», «принадлежит» являются первичными, неопределяемыми понятиями теории множеств. Г. Кантор, основатель интуитивной теории множеств, предложил следующее очень меткое описание этого понятия: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое целое». Множества принято обозначать большими латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами. Символ используется для обозначения принадлежности того или иного элемента данному множеству.
Определение 1.1. Два множества считаются равными в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 1.2. Всякое множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Оно обозначается символом .
Определение 1.3. Множество, которое содержит конечное (бесконечное) число элементов, называется конечным (бесконечным). Пустое множество считается конечным множеством.
Множество может состоять из элементов, которые сами являются множествами.
Пример 1.1. Множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2, но множество {А} состоит из одного элемента А.
Определение 1.4. Будем считать множество заданным, если для любого предмета (элемента) есть принципиальная возможность установить, является он элементом этого множества или нет.
Способы задания множеств
Перечислением. Перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки. Например, {27,4,3,a}; {7,{7}}; {n} и т.д. Понятно, что не все множества реально можно задать перечислением и даже не все конечные.
Указанием характеристического свойства. Пусть некоторое множество U уже задано и P – некоторое свойство, которым какие-то элементы U обладают, а какие-то нет. Таким образом, задано множество М всех тех и только тех элементов из U, которые обладают свойством Р. Свойство P называется характеристическим для множества M, т.е оно задается при помощи характеристического свойства. В общем виде приняты обозначения:
или
,
где запись P(x) означает, что элемент x обладает свойством P. Если из контекста ясно, о каком множестве U идет речь, то пишут:
.
Пример 1.2. Пусть N – множество всех натуральных чисел и множество
.
Понятно, что M в данном случае можно задать и перечислением: M ={2,3}.
Определение 1.5. Говорят, что множество A включается в множество B (содержится в множестве B): A B, если все элементы множества A являются элементами и множества B. Если же A B и A ≠ B, то говорят, что множество A строго включается в B: A B.
Если A B, то говорят также, что A – подмножество множества B, а если A B, то говорят, что A – собственное подмножество множества B.
Теорема 1.1. Пустое множество является подмножеством любого множества и собственным подмножеством любого непустого множества.