2.4.2. Тройной интеграл в сферических координатах

В сферической системе координат положение точки Р (x, y, z ) в пространстве определяется

тремя числами r, , , где r – расстояние от начала координат до точки Р,  - угол между

осью Оx и проекцией радиуса-вектора ОР точки Р на плоскость Оху, а  - угол между осью Oz

и радиусом-вектором ОР точки Р, отсчитываемый от оси Oz (рис.6). Тройка чисел r, , 

н азывается сферическими координатами точки Р.

Ясно, что 0  r < +, 0   < 2, 0    .

Координатные поверхности в этой системе координат:

r = const – сферы с центром в начале координат;

 = const – полуплоскости, исходящие из оси Oz;

 = const – круговые конусы с осью Oz.

Рис. 6.

Из рисунка видно, что сферические и декартовы координаты связаны

следующими соотношениями:

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos .

Якобиан данной системы функций

J = = = r ² sin θ.

Следовательно, | J | = r² sin θ и формула (2) в данном случае принимает вид

, (4)

Выражение dv = r² sin θ dr dθ dφ называется элементом объема в сферических координатах.

Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования

есть шар (уравнение его границы х² + у² + z² = R² в сферических координатах

имеет вид  = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет

вид f (х² + у² + z²).

Пример 4. V – область в пространстве, ограниченная сферой x² + y² + z² = 2az и двумя коническими

поверхностями x² + y² = z² tg²α, x² + y² = z² tg²β ( 0 < α < β < π/2).

В сферических координатах r, φ, θ область V имеет вид V = {0 ≤ r ≤ 2a cos θ, 0 ≤ φ ≤ 2π, α ≤ θ ≤ β }.

Следовательно,

Пример 5. Найти объем выпуклого тела Ω, вырезанного из конуса x² + y² = z²

концентрическими сферами x² + y² + z² = а² и x² + y² + z² = b² (a < b).

Переходим к сферическим координатам: x = r sin cos, y = r sin sin,

z = r cos. Из первых двух уравнений видно, что a ≤ r ≤ b. Из третьего находим

пределы изменения угла θ : r²sin² = r²cos² => tg = 1,  = π/4, т.е.

0 ≤ θ ≤ π/4 => V = || f (x, y, z) = 1 || = = || J = r² sin || = =

= = 2π · = 2π = .

2.5. Приложения тройного интеграла

2.5.1. Объем тела

Объем области V выражается формулой V = или V = – в декартовых прямоугольных координатах;

V = – в цилиндрических координатах;

V = – в сферических координатах.