2. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (3).

3. Порядок интегрирования в формулах (3)- (4), при определенных условиях,

может быть иным.

Пример 2. Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями: х = 0, у = 0, z = 0 и x + 2y + z – 6 = 0.

Проекцией тетраэдра на плоскость Оху является треугольник, образованный прямыми

х = 0, у = 0 и x + 2y = 6, т.е. х изменяется от 0 до 6, а при фиксированном х (0 ≤ х ≤ 6)

у изменяется от 0 до 3 – (рис.3). Если же фиксировать и х и у, то точка может

перемещаться по вертикали от плоскости z = 0 до плоскости x + 2y + z – 6 = 0, т.е.

меняется в пределах от z = 0 до z = 6 – х – 2у. Следовательно,

V = || f (x, y) = 1 || = = = dx = Рис.3.

= .

2.4. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного

интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Вопрос о замене переменных в тройном интеграле решается таким же путем, как и в случае двойного интеграла. Пусть функция f ( x, y, z ) непрерывна в замкнутой области V, а функции

х = х ( , ,  ), у = у (  , ,  ), z = z (  , ,  ) (1)

непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области V^. Если функции (1) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между всеми точками

(  , ,  ) области V^ и всеми точками ( x, y, z ) области V, то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

, (2)

где J = – якобиан системы функций (1).

На практике при вычислении тройных интегралов часто пользуются заменой

прямоугольных координат цилиндрическими и сферическими координатами.

2.4.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В цилиндрической системе координат положение точки Р в пространстве

определяется тремя числами , , z, где  и  - полярные координаты

проекции Р точки Р на плоскость Оху, а z – аппликата точки Р (рис.4).

Тройка чисел , , z называется цилиндрическими координатами

точки Р.

Ясно, что 0   < +, 0   < 2, - < z < +. Рис.4.

В системе цилиндрических координат поверхности  = const,  = const, z = const

соответственно описывают: круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz; полуплоскость, примыкающую к оси Oz; плоскость, параллельную плоскости Оху.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми формулами

x =  cos, x =  cos, z = z

J = = = ρ. Т.к. ρ ≥ 0, то | J | = ρ и формула (2) перехода от тройного интеграла в прямоугольных координатах к интегралу в цилиндрических координатах принимает вид

, (3)

Выражение dv = ρ dρ dφ dz называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x² + y² и z = 2 – x² – y² (рис.5).

В цилиндрических координатах заданные поверхности будут заданы уравнениями

z = ρ² и z = 2 – ρ² . Эти поверхности пересекаются по линии z, которая описывается

системой уравнений z = , а ее проекция на плоскость Оху –

системой . Т.о., D٭= { 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π, ρ² ≤ z ≤ 2 – ρ² }. Следовательно,

V = || f (x, y, z) = 1 || = = || J = ρ || = = =

= 2π = 4π = π. Рис.5.

Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если

область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.