1.6. Приложения двойного интеграла

1.6.1. Объем цилиндрического тела

Как уже показано (п.1.2) объем цилиндрического тела находится по формуле

V = ,

г де z = f (x, y) – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху, основание тела –

область D.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x² + y² – z + 1 = 0 и

x² + y² + 3z – 7 = 0 (рис.1).

Данное тело ограничено двумя параболоидами. Решая систему

находим линию их пересечения x² + y² = 1, z = 2. Искомый объем равен разности

объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг x² + y² ≤ 1) и ограниченных

сверху соответственно поверхностями z = (7 – x² – y²) и z = 1 + x² + y² => Рис.1.

V = V₁ – V₂ = – . Переходя к полярным координатам, находим

V = – = – =

· – = · 2π – · 2π = π.

1.6.2. Площадь плоской фигуры

Если положить f (х, у) = 1, то цилиндрическое тело « превратится» в прямой цилиндр с высотой H = 1. Объем такого цилиндра численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

S = , или , в полярных координатах, S = .

1.6.3. Масса плоской фигуры

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ = γ (х, у): m = .

Если масса распределена равномерно по всей фигуре, γ = const, то: m = γ .

Пример 2. Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов r и R, где

r < R, если плотность кольца в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до

до центра окружности и равна 1 на окружности внутреннего круга.

D = {r ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π}, γ = . m = = = 2πr (R – r).

1.6.4. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статическим моментом М_х материальной точки массы m относительно оси Ох называется произведение mу, где у – ордината материальной точки, т.е. М_х = mу .

Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Разбивая фигуру D на части D₁, D₂, . . . , D_n, выбирая в каждой части D_k произвольно точку Р_k (х_k, у_k) и считая, что масса этой k – той части приближенно равна  (х_k, у_k) S_k и сосредоточена в точке Р_k (х_k, у_k), запишем приближенно величину статического момента

фигуры D относительно оси Ох: М_х ≈ , где ΔS_k – площадь части ΔD_k , а

 (х_k, у_k) – поверхностная плотность.

Переходя к пределу при d → 0, получаем М_х = .

Статический момент фигуры D относительно оси Оу: М_у = .

Если известны статические моменты М_х и М_у и масса m плоской фигуры, то координаты центра тяжести:

х_с = = , у_с = = ,

Если μ = const, то m = μS, и

х_с = , у_с = .

Пример 3. Найти массу, статические моменты S_x, S_y и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой

четверти, ограниченной эллипсом + y² = 1 и координатными осями. Поверхностная плоскость в

каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

По условию μ = μ(х, у) = kху, где k – коэффициент пропорциональности. Имеем:

m = = k = = = .

S_x = .

S_y = .

x_c = = . y_c = = .