Формула замены переменных в двойном интеграле
Пусть непрерывные функции х = (u, v), у = (u, v) осуществляют взаимно однозначное отображение области D на область D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости О х у задана непрерывная функция z = f (х, у). Каждому значению функции z = f (х, у) в области D соответствует равное значение функции
z = F (u, v) в области D, где F (u, v) = f [ (u, v), (u, v) ].
Разобьем область D на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (u, v ) и (х, у) так, чтобы значения функций F (u, v) и f (х, у) в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций
f (х, у) и F (u, v) по областям D и D. Получим
≈
,
(7)
где ΔS
≈ | J
| ΔS٭
и
J
= J
(u,
v)
– якобиан функций
(u,
v)
и
(u,
v)
. Переходя в равенстве (7) к пределу при
стремлении к нулю наибольшего диаметра
d
частичных
областей Dk
(в силу
непрерывности отображения (1) будет
стремиться к нулю и наибольший из
диаметров d
частичных
областей в D
),
будем
иметь:
=
или
=
, (8)
где
J
(u,
v)
=
.
Т
.о.,
для того чтобы преобразовать двойной
интеграл,
заданный в декартовых координатах,
в двойной интеграл в криволинейных
координатах,
нужно заменить в подынтегральной функции
f
(х,
у)
переменные х и у соответственно через
(u,
v)
и (u,
v),
а элемент площади dxdy
- его выражением в криволинейных
координатах:
dxdy
= | J
| du
dv.
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами ху = а2 и
ху = b2, где x > 0, y > 0, 0 < a < β, и прямыми у = αх и у = βx, 0 < α < β.
Введем новые криволинейные
координаты ху = u,
=
v, которые
преобразуют фигуру D в плоскости Оху в прямоугольник
D٭= {a2 ≤ u ≤ b2; α ≤ v ≤ β } в плоскости O′uv (рис.16).
Рис.16.
Имеем: x =
,
y =
=> J =
=
=
=> S = || f(x,
y) = 1 || =
=
=
.
Двойной интеграл в полярных координатах
Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами и по формулам
x = cos , y = sin , где 0, 02. (9)
В этом случае
J
=
=
= ρ.
Элемент площади в полярных координатах имеет вид dS = ρ dρ dφ , (10)
И формула перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так:
.
(11)
Т.о., чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно х и у в подынтегральной функции заменить соответственно через cos и sin, а элемент площади в декартовых коор-тах dxdy заменить элементом площади в полярных коор-тах d d.
Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу, при этом пределы интегрирования по и области D должны соответствовать пределам интегрирования по х и у области D.
Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17). Отметим крайние значения 1 и 2 полярного угла , 1 2. Числа 1 и 2 являются пределами внешнего интегрирования.
Луч = 1 проходит через точку А контура области D,
а
луч
=
2
- через точку В.
Точки А
и В
разбивают
контур области D на две части: АСВ и AFB. Пусть = 1 ()
и = 2 () – их полярные уравнения, причем
1 () 2 () для всех 1, 2).
Функции 1 () и 2 () являются пределами внутреннего
интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем
следующую формулу:
. (12)
Рис. 17.
В частности, для площади S области D (при F(ρ, φ) ≡ 1) получаем
S
=
.
Пусть теперь полюс О расположен внутри области D.
П
редположим,
что область D
является звездной,
т.е. любой
луч = const пересекает границу области только в одной
точке или по целому отрезку (рис. 18).
Пусть = ( ) – уравнение границы области в полярных
координатах. Тогда Рис.18.
.
(13)
Замечание. Переход к полярным координатам полезен, когда
п
одынтегральная
функция имеет вид f
(x2
+ y2);
область D
есть круг, кольцо или часть таковых.
Пример 7. Найти I
=
по области D = {x2
+ y2
≤ 1, x ≥ 0, y
≥ 0} –
первой четверти единичного круга (рис.19). Рис.19.
Перейдем к полярным координатам: x = cos , y = sin =>
=> D → D٭
=
=> I = || J
= ρ || =
=
=
=
.
Пример 8. Найти площадь фигуры,
ограниченной кривой x2
+ y2
= 2ах.
В полярных координатах уравнение
данной кривой имеет вид:
2cos2 + 2sin2 = 2a cos 2(cos2 + sin2) = 2a cos 2 = 2a cos
= 2a
cos.
С другой стороны, x2+
y2=
2ах
x2–
2ах +
y2=
0
x2–2ах
+ a2+
y2=
a2
(x – a) 2 + y2 = a2 – окружность (рис.20).
S =
=
=
=
=
=
=
πa2.