1.5. Замена переменных в двойном интеграле

1.5.1. Понятие криволинейных координат точки

Пусть в области D^ плоскости О^u v задана пара функций

(1)

которые будем считать непрерывными в этой области и име-

ющими в ней непрерывные частные производные. В силу (1) Рис.14.

каждой точке М^(u, v) области D^ отвечает одна определенная

точка М (х, у) в плоскости Оху и тем самым точкам области D^ отвечает некоторое множество точек (х, у) в плоскости Оху (рис. 14). При этом говорят, что функции (1) задают отображение области D^ плоскости О^u v на область D плоскости Оху.

Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х, у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u и v: (2)

В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D^ на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L^, лежащая в области D^, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции g (х, у) и h (х, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия L  D с помощью преобразования (2) перейдет в непрерывную линию L^  D^.

По заданной паре u₀, v₀ значений переменных u, v из области D^ можно однозначно определить не только положение точки М^ (u₀, v₀) в самой области D^, но и положение соответствующей точки М (х₀, у₀) в области D,

х₀ =  (u₀, v₀), у₀ =  (u₀, v₀). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки М области D на плоскости Оху. Их называют криволинейными координатами точки М.

Множество точек области D, у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной линией. Полагая в формуле (1) v = v₀, получим параметрические уравнения координатной линии

х =  (u, v₀), у =  (u, v₀). (3)

Здесь роль параметра играет переменная u. Придавая координате v различные постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости Оху. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (u = const).

При наличии взаимно однозначного соответствия между областями D^ и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных коорди-

натных линий на плоскости Оху является образом прямоугольной сетки на плоскости O^u v.

1.5.2. Элемент площади в криволинейных координатах.

Якобиан и его геометрический смысл

Выделим в области D^ плоскости O^u v малый

прямоугольник Р₁^ Р₂^ Р₃^ Р₄^ со сторонами,

параллельными осям координат O^u и O^ v и

длинами сторон u

и v (рис 15а). Его площадь

S^ = u  v. (4) Рис.15.

Прямоугольник Р₁^ Р₂^ Р₃^ Р₄^ переходит в криволинейный четырехугольник

Р₁Р₂Р₃Р₄ в области D (рис 15б). Если вершины Р_i^ ( i = 1, 2, 3, 4 ) имеют координаты

Р₁^(u, v), Р₂^(u+u, v), Р₃^(u+u, v+v), Р₄^(u, v+v),

то, согласно формулам (1), соответствующие им вершины Р_i имеют координаты

Р₁ ( (u, v), (u, v)), Р₂ (( (u+u, v),  (u+u, v)),

Р₃ (( (u+u, v+v),  (u+u, v+v)), Р₄ (( (u, v+v),  (u, v+v)).

Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого порядка относительно u и v, получим следующие приближенные значения координат для

вершин четырехугольника Р₁Р₂Р₃Р₄ : , ,

, , (5)

где функции  ,  и все их производные вычислены в точке (u, v). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник Р₁Р₂Р₃Р₄ есть параллелограмм. Это следует из того, что

, .

Тогда площадь ΔS четырехугольника Р₁Р₂Р₃Р₄ можно приближенно выразить через длину векторного произведения : ΔS = = · Δu · Δv.

Определитель J = называется функциональным определителем функций φ(u, v) и ψ(u, v), или их якобианом.

Т.о., элемент площади в криволинейной системе координат имеет вид

ΔS ≈ | J | · Δu · Δv . (6)

Т.к. ΔS٭ = Δu · Δv , то из формулы (6) получаем, что ΔS / ΔS٭ ≈ | J |. Это равенство является приближенным. Однако в пределе, когда диаметры площадок ΔS и ΔS٭ стремятся к нулю, оно переходит в точное: | J (u, v) | = .

Из последних формул видно, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D٭ (в данной точке (u, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1).