1.4.2. Случай произвольной области

Пусть область интегрирования – произвольная огра-

ниченная замкнутая область D на плоскости Оху, удо-

влетворяющая следующим условиям: любая прямая ,

параллельная оси Оу, пересекает границу этой области

не более чем в двух точках или по целому отрезку

(рис. 7а).

Заключим область D внутри прямоугольника Рис.7.

П = {a  x  b, c  y  d} так, как показано на рис. 7б.

Точками А и С граница области D разбивается на две кривые АВС и АЕС. Каждая из

этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной

точке. Поэтому их уравнения можно записать в виде:

. (6)

Пусть f ( x, y )  0 – некоторая функция, непрерывна в D. Рассечем цилиндрическое

тело, ограниченное сверху поверхностью z = f ( x, y ), а снизу - областью D, плоскостью

x = const, a < x < b.

В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис. 8), пло-

щадь которой S (x) выражается обыкновенным интегралом от функ-

ции f ( x, y ), рассматриваемой как функция одной переменной у.

При этом у изменяяется от ординаты ₁(х) точки Р до ординаты ₂(х)

точки Q : точка Р есть точка “входа” прямой x = const (в плоскости

Оху) в область D, а Q – точка ее “выхода” из этой области. Т.к.

у равнение кривой АВС есть у = ₁(х), а кривой АЕС – у =  ₂(х), то

эти ординаты при взятом х соответственно равны ₁(х) и  ₂(х).

Следовательно, интеграл = S(x) (7) Рис.8.

дает выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a ≤ x ≤ b). Т.о.

= . (8)

В частности для площади S области D получим

S = = . (9)

Предположим теперь, что каждая прямая y = const, c < y < d, пересекает

границу области D не более чем в двух точках P и Q, абсциссы которых

равны ₁(у) и ₂(у) соответственно (или по целому отрезку) (рис. 9).

Рассуждая аналогично тому, как это было проделано выше, придем к формуле

Рис. 9.

= , (10)

т акже сводящейся к вычислению двойного интеграла к повторному.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции f (x, y) = xy по области D,

ограниченной линиями у = и у = х² (рис.10).

Рассмотрим область D: параболы у = и у = х² пересекаются в точках О(0, 0)

и М(1, 1): => x₁ = 0, x₂ = 1, т.е. а = 0, b = 1. Кроме того, у₁ = х², у₂ = . Рис. 10.

Следовательно, = = = = .

Пример 3. Вычислить интеграл от функции f (x, y) = 2x – y + 3 по области D,

о граниченной линиями у = х и у = х² (рис.11).

Прямая у = х и парабола у = х² пересекаются в точках О(0, 0) и М(1, 1): =>

x₁ = 0, x₂ = 1, т.е. а = 0, b = 1 => область D = {0 ≤ x ≤ 1, х² ≤ y ≤ x} => (два решения) Рис. 11.

а) = = = = = .

б) = = = = .

Пример 4. Вычислить по области D, заключенной между двумя квадратами с центром в начале

координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а

внешнего 4 (рис.12).

Имеем: = – , где Q – больший квадрат, Р –

меньший квадрат.

= = = = .

= = .

= – = e⁴ – 2 + e^–4 – e² + 2 – e^–2 = 2ch4 – 2ch2. Рис.12.

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями

у = х², у = 0, х + у – 2 = 0 (рис.13).

а) = = =

= =

= – + + – – = . Рис.13.

б) = + = + = dx + = + = + = .