1.3. Основные свойства двойного интеграла

Считаем, что встречающиеся здесь подынтегральные функции интегрируемы.

1. dx dy = dx dy ± dx dy.

2. dx dy = dx dy ± dx dy.

3. dx dy = A dx dy.

4. Если для всех точек ( x, y ) D f ( x, y ) ≤ g ( x, y ), то dx dy ≤ dx dy.

5. Площадь плоской области: = S, т.к. = S.

6. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то

mS ≤ dx dy ≤ MS, где m и M - соответственно наименьшее и наибольшее

значения f ( x, y ) в области D.

7. Теорема о среднем значении функции. Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутой

области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (х₀, у₀), что dx dy = f ( х₀, у₀ ) · S.

Величину f ( х₀, у₀ ) = dx dy называют средним значением функции f ( x, y )

в области D.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении. Если в области D

функция f ( x, y )  0, то данная теорема гласит, что существует прямой

цилиндр с основанием D (площадь которого равна S ) и высотой

H = f ( x₀, y₀ ), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 4 ).

Рис. 4 .

1.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух

определенных интегралов или, говоря иначе, сведением его к повторному.

1.4.1. Случай прямоугольника

Пусть область D – замкнутый прямоугольник со сторонами,

параллельными осям координат: П = {a  x  b, c  y  d}.

Пусть функция f ( x, y )  0 непрерывна в П. Тогда, как это

было показано в п.1.2., двойной интеграл от этой функции по

области П выражает объем цилиндрического тела, ограниченного

сверху поверхностью z = f ( x, y ).

Рассмотрим это тело. Проведем плоскость y = y₀, c  y₀  d,

перпендикулярную оси Оу (рис. 5). Эта плоскость рассечет Рис.5.

цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ₁А₁,

ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями z = f ( x, y₀ ), у = y₀ .

Площадь трапеции АВВ₁А₁, выражается интегралом

, (1)

где интегрирование ведется по х, а y₀ = const. Величина интеграла (1) зависит от выбора значения y₀ . Положим

S(y) = . (2)

Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле V = .

С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f ( x, y ) по прямоугольнику П. Значит = . Заменяя S(y) его выражением (2), получим = . Последнее соотношение обычно записывают в виде = . (3)

Объем цилиндрического тела можно найти также по площадям сечений плоскостями х = х₀. Это приводит к формуле = . (4)

Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f ( x, y ). Они называются повторными интегралами от функции f ( x, y ) по области П.

Если f ( x, y ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и = , (5)

т.е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f ( x, y )

не зависят от порядка интегрирования.

Пример 1. Найти интеграл от функции z = x² + y² по области

П = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Имеем (рис.6): dy = =

= = = .

Рис.6.