2.5.2. Масса тела

Масса тела m по заданной объемной плотности γ вычисляется по формуле

m = ,

где γ (x, y, z) – объемная плотность распределения массы в точке М (x, y, z).

Пример 6. Найти массу тела, ограниченного полусферами z = и z = (a < b) и

плоскостью Оху, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до начала координат.

m = = = .

Переходя к сферическим координатам, получим V٭ = и

m = k = k · 2π · = .

2.5.3. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей. Центр тяжести

Элементарный статический момент относительно плоскости Оху равен

dK_xy = z dm = z (х, у, z) dv = z (х, у, z) dxdydz ,

где  (х, у, z) - плотность. Отсюда статический момент относительно плоскости Оху равен

K_xy = .

Аналогично, статические моменты относительно плоскостей Охz и Oyz равны

K_xz = и K_yz = .

Вычислив массу m тела V и его статические моменты, легко найти координаты центра тяжести тела:

x_c = = , y_c = = ,

z_c = = .

Если тело однородно, то μ = const и m = μW. Отсюда (W – объем тела):

x_c = , y_c = , z_c = .

Пример 6. Найти центр тяжести однородного полушария радиуса R.

Считаем, что центр тяжести шара находится в начале координат, а рассматриваемого полушария – над плоскостью Оху. В силу симметрии имеем: х_с = 0, у_с = 0. Объем шара равен W = πR³. Найдем статический момент относительно плоскости Оху:

K_xy = = = 2π =>

z_с = = = R => C – искомый центр тяжести.

2.5.4. Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

и моменты инерции тела относительно координатных осей

3. Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области

При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования D₁, D₂, D₃, ... , монотонно исчерпывающих область D, т.е. D₁  D₂  D₃  ... и D_n  D при n  . Например, если область интегрирования D совпадает со всей плоскостью Ох у, то за последователь { D_n } можно принять совокупность концентрических кругов x² + y²  a_n² , a_n < a_n+1, n = 1, 2, ... , где a_n  при n  .

Если предел последовательности интегралов существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Пример 1. Вычислить интеграл , где область интегрирования D – вся плоскость.

В качестве областей интегрирования {D_n} выбираем круги х² + у² ≤ n² радиуса n (n = 1, 2, …).

Переходя к полярным координатам, получим

= = = 2π =

= 2π = π. Интеграл сходится и равен π.

Для интеграла по неограниченной области D справедлив следующий

Признак сравнения. Если 0 ≤ f (x, y) ≤ g (x, y) (x, y) D, и интеграл

сходится, то сходится и интеграл .

Если же интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования:

= = .

Несобственные интегралы от функции трех, четырех и более числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично.