4.2 Построение упругой линии

Для построения упругой линии двутавровой балки вычислим прогибы сечений с интервалом по длине, равным 0,5 м. Для определения прогибов воспользуемся универсальным уравнением упругой линии:

Поместив начало координат на левом конце балки, составим общее уравнение для прогиба произвольного сечения на последнем участке балки. При этом будем учитывать нагрузки в порядке появления их на балке от начала координат и отделять группы слагаемых, относящихся к каждому участку:

Т.к. реакция , формула упрощается:

Начальные параметры (прогиб сечения в начале координат) и (угол поворота сечения в начале координат) вычислим из условий закрепления балки.

На левой опоре при ( участок):

На правой опоре при ( участок):

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставив все данные в универсальное уравнение упругой линии для любого участка, получим:

Для упрощения восприятия выражения размерности величин не указаны. Подставляя в будем получать в .

Рассчитаем прогиб и угол поворота в середине пролета балки. При этом абсцисса :

По универсальному уравнению упругой линии:

Прогиб в середине пролета:

Угол поворота есть первая производная от прогиба балки:

Тогда продифференцировав универсальную формулу упругой линии, получим формулу для вычисления угла поворота:

По полученной формуле для середины пролета балки ( ):

Угол поворота в середине пролета:

Аналогично тому, как был рассчитан прогиб для середины пролета балки, находим прогибы для всех других сечений каждого участка через . Результаты сводим в табл.1. По полученным значениям строим упругую линию, представленную на рис.4.

Таблица 1

Расчет упругой линии

№ участка	I участок			II участок								III участок
№ сечения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
,	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
,	13	6,3	0	-5,7	-10,6	-14,1	-16,1	-16,1	-13,6	-8,5	0	11,6	27,6
,	0,5	0,24	0	-0,22	-0,41	-0,55	-0,62	-0,62	-0,53	-0,33	0	0,45	1,07

В соответствии с рис.4 максимальный прогиб .

Допускаемое значение прогиба:

Т.к.

то требуемая жесткость балки обеспечена.

Рис.4. Упругая линия балки

Найдем прогиб и угол поворота балки в середине пролета альтернативным методом. В качестве такого воспользуемся методом интегралов Мора.

По этому методу определение перемещений в балке выполняют, пользуясь формулой:

Для балки, жесткость по длине которой постоянна, можно переписать формулу так:

Чтобы определить прогиб в заданном сечении, освободим балку от заданной нагрузки и в той точке, перемещение (прогиб) которой требуется определить, приложим вертикально направленную фиктивную силу, как это сделано на рис.5.

Определим реакции опор, воспользовавшись уравнениями статики:

Тогда:

Рис.5. Эпюра момента

Проверка найденных реакций по уравнению равновесия сил ( ):

При определении прогиба момент представляет собой следующее выражение:

Построим эпюру моментов при действии на балку фиктивной силы . Для этого разбиваем балку на 4 участка.

На участке :

На участке :

На участке :

На участке :

По полученным данным строим эпюру , изображенную на рис.5.

Вычисление интеграла Мора, записанного в такой форме:

удобнее всего выполнять графоаналитическим методом, называемым правилом Верещагина или способом перемножения эпюр. Этим правилом можно пользоваться в тех случаях, когда хотя бы одна из эпюр ( или ) ограничена прямой линией на участке в пределах интегрирования.

Рис.6. Эпюры моментов и

По правилу Верещагина каждое из слагаемых, входящих в интеграл Мора, равно произведению площади эпюры произвольного очертания на ординату прямолинейной эпюры, расположенную под центром тяжести первой:

Правило перемножения эпюр освобождает от интегрирования. Для вычисления интеграла Мора необходимо построить все эпюры и найти только некоторые характерные ординаты.

Знак интеграла определяется следующим правилом:

• произведение будем считать положительным, если эпюра, площадь которой входит в вычисляемое произведение, и соответствующая ордината прямолинейной эпюры лежат по одну сторону от оси, и отрицательным - если по разные стороны.

Для удобства дальнейшего расчета представим эпюры момента и на рис.6.

Поскольку эпюра линейна в области интегрирования (там, где она имеет вид параболы интегрировать не нужно, т.к. , можно умножить площадь эпюры на ординату эпюры от , взятую над центром тяжести эпюры .

Площадь эпюры является симметричной и состоит из 2 одинаковых треугольников. Посчитаем площадь треугольника эпюры:

Центр тяжести первого треугольника расположен на расстоянии:

от начала линейной области эпюры . Тогда:

Центр тяжести второго треугольника расположен на расстоянии:

от начала линейной области эпюры . Тогда:

Искомый прогиб в середине пролета балки:

Т.к. прогиб получился со знаком «плюс», то сечение перемещается в направлении действия фиктивной силы . Если бы получился знак «минус», то это говорило бы о том, что направление перемещения и фиктивной силы прямо противоположны.

Для того чтобы определить угловое перемещение (угол поворота), к разгруженной балке нужно приложить в том сечении, поворот которого подлежит определению, фиктивный момент . Для определения угла поворота в середине пролета балки приложим так, как показано на рис.7.

В случае определения углового перемещения в интеграле Мора имеет следующий смысл:

Определим реакции опор, воспользовавшись уравнениями статики:

Тогда:

Рис.7. Эпюра момента

Проверка найденных реакций по уравнению равновесия сил ( ):

Построим эпюру моментов при действии на балку фиктивного момента . Для этого разбиваем балку на 4 участка.

На участке :

На участке :

На участке :

На участке :

По полученным данным строим эпюру , изображенную на рис.7.

Для удобства дальнейших расчетов совместим эпюры и на рис.8.

Рис.8. Эпюры моментов и

Поступаем так же, как в случае определения прогиба. Считаем площадь одинаковых треугольников эпюры :

Из рис.8 видно, что и будут такими же, как и при определении прогиба:

Искомый угол поворота в середине пролета балки:

Т.к. прогиб получился со знаком «минус», то сечение поворачивается в противоположном фиктивному моменту направлении, т.е. по часовой стрелке.