6. Закон радиоактивного распада

Ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским; возникающее дочернее ядро, как правило, оказывается возбужденным, и его переход в основное состояние сопровождается испусканием -фотона.

При решении задач на явление радиоактивности, связанных с радиоактивным распадом, пользуются законом радиоактивного распада: число радиоактивных ядер – dN, распадающихся за промежуток времени между t и t+dT, пропорционально этому промежутку dt и числу ядер N, еще не распавшихся к моменту t, т.е.

(6.1)

где - постоянная радиоактивного распада, или

(6.2)

где N₀ – число радиоактивных ядер в момент t=0.

Период полураспада , т.е. промежуток времени, за который распадается половина начального числа ядер, и постоянная распада связаны соотношением

(6.3)

Число радиоактивных распадов в единицу времени называется активностью.

7. Метод определения периода полураспада радиоактивного изотопа

Из соотношения (6.1) скорость радиоактивного распада запишется так:

(7.1)

Подставив в (9) значение из (5) и N из (6), получим:

(7.2)

Записав это уравнение для двух различных моментов времени t₁ и t₂, и решая их совместно относительно Т_1/2, можно получить соотношение, пригодное для практического определения периода полураспада радиоизотопа.

Действительно, пусть

(7.3)

скорость распада атомов изотопа в момент времени t₁ (n₁ – число атомов, распадающихся за единицу времени), а

(7.4)

в момент t₂.

Разделим (7.3) на (7.4)

(7.5)

После логарифмирования равенства (13) получим:

(7.6)

Отсюда окончательно имеем

(7.7)

Измерив скорость распада n₁ в момент времени t₁ и n₂ в момент времени t₂, легко вычислить период полураспада T_1/2 радиоактивного элемента (вещества). Правда, надо отметить, что для получения приемлемой точности полученного результата интервал времени между измерениями должен составлять несколько суток.

8. Примеры решения задач

1. Зная постоянную распада ядра, определить вероятность Р того, что ядро распадается за промежуток времени от 0 до t.

Решение. Процесс радиоактивного распада носит статистический характер, а это значит, что если многократно повторять опыты с радиоактивным препаратом, содержащим достаточно большое начальное число ядер , то за промежуток времени от 0 до t распадается каждый раз одна и та же доля ядер . Эта величина, характеризующая относительную частоту события – распада ядра, и принимается за вероятность Р распада ядра в течение данного промежутка времени. Таким образом

где - число нераспавшихся ядер к моменту времени t. Подставив в это равенство вместо N его значение по закону радиоактивного распада и произведя сокращение, получим ответ:

.

2. Определить, сколько ядер в =1,0 мг радиоизотопа церия распадается в течение промежутков времени:

1) =1с; 2) =1 год.

Период полураспада церия Т=285 сут.

Решение. Задача решается с помощью закона радиоактивного распада.

1. Так как , то можно считать, что в течение всего промежутка число нераспавшихся ядер остается практически постоянным и равным их начальному числу . Тогда для нахождения числа распавшихся ядер применим закон радиоактивного распада, записав его так:

или учитывая, что период полураспада Т и постоянная распада связаны соотношением

Чтобы определить начальное число ядер (атомов) , умножим постоянную Авогадро на число молей , содержащихся в данном препарате:

где - начальная масса препарата, - молярная масса изотопа , численно равная (приблизительно) его массовому числу. С учетом предыдущего выражения получим

.

Выразим числовые значения величин, входящих в полученную формулу, в единицах СИ:

Произведя вычисления с учетом того, что ln2 = 0,693, найдем .

2. Так как теперь - величины одного порядка, то дифференциальная форма закона радиоактивного распада здесь неприменима. Поэтому для решения задачи воспользуемся интегральной формой закона, справедливой для любого промежутка .

Тогда получим .

Или .

Так как , то уравнение принимает более простой вид

.

Произведя вычисления, получим .

3. Радиоизотоп с постоянной распада превращается в радиоизотоп с постоянной распада . Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа , найти, через сколько времени активность радиоизотопа достигнет максимума?

Решение. Активность препарата пропорциональна числу наличных ядер N этого препарата. Поэтому активность а радиоизотопа достигнет максимума тогда, когда максимальным будет число ядер этого радиоизотопа. Закон изменения со временем числа ядер выражается формулой (3). Для отыскания промежутка времени t, которому соответствует максимум функции , продифференцируем эту функцию по времени и приравняем к нулю производную:

Отсюда

Решив это уравнение относительно t, найдем искомое время