5.2.Метод конфигураций Хука – Дживса (Hooke - Jeeves)

Стратегия метода конфигураций предполагает циклическое повторение двух этапов поиска:

1. исследующего поиска вокруг базисной точки;

2. ускоряющего поиска по образцу в направлении минимизации .

Выполнение метода начинается с выбора начальной базисной точки , длины шага и параметра критерия окончания поиска .

В процессе первого цикла шагового исследующего поиска (Рис.5.3) генерируются и отбираются точки при этом на м шаге на изменяется только я координата вектора и из координатных значений выбирается такое, при котором оценка минимальна.

Так, на первом шаге используется точка , у которой варьируется первая координата

(5.2.1)

Рис.5.3.

На втором шаге используется точка , у которой варьируется вторая координата

(5.2.2)

Аналогично, на шаге используется точка , у которой варьируется координата

(5.2.3)

Таким образом, в результате кратного применения правила выбора соответствующей координаты вектора , получаем последовательность точек , которым отвечают, по крайней мере, невозрастающие оценки функции, а именно

(5.2.4)

Обозначим новую точку через и констатируем, что в результате исследующего поиска получена новая базисная точка.

Пара базисных точек определяет первую конфигурацию.

Дальнейший поиск, называемый поиском по образцу, основан на ключевой гипотезе локального характера:

направления поиска из предыдущей и новой базисных точек совпадают.

Опираясь на эту гипотезу, откажемся от исследующего поиска вокруг новой базисной точки и продвинемся из базисной точки в направлении на двойную длину вектора .

Это движение определит вершину первой конфигурации

(5.2.5)

В процессе второго цикла положим и с центром в точке x проведём второй исследующий поиск, который завершается нахождением координат второй базисной точки.

Поиск по образцу на основе пары базисных точек приведет к вершине второй конфигурации

. (5.2.6)

Циклический процесс генерации базисных точек следует продолжать вплоть до шага, на котором впервые выполнится равенство

, (5.2.7)

означающее либо нахождение минимума , либо продолжение поиска, но уже с уменьшенными значениями , например, по формуле , .

Для разрешения этой ситуации в методе используется критерий окончания поиска

. (5.2.8)

Выполнение критерия означает достижение покоординатной - сходимости процесса минимизации и окончание поиска.

В противном случае, вокруг предпоследней базисной точки проводится исследующий поиск с уменьшенными значениями , , определяется новая базисная точка, производится поиск по образцу, затем определяется вершина новой конфигурации и т.д.

Схематически метод Хука - Дживса можно представить в виде (Рис.5.4)

Рис.5.4.

В верхней части рис.5.4 приведены последовательные точки , генерируемые методом за один шаговый цикл. В нижней части - критерий окончания поиска (5.2.8), а также условие и операции, необходимые для перехода к новому циклическому поиску, поиску по образцу и т.д.

Приложения.

Считается, что метод хорошо приспособлен для моделирования кривых методом наименьших квадратов. В частности, метод был применён для оценки параметров нелинейных уравнений термодинамики и кинетики по результатам эксперимента (Химмельблау), для оптимизации химических процессов (Блюм), моделирования потока нейтронов в ядерном реакторе (Хук - Дживс) и т. д.