10.3.2.Сходимость методов барьерных функций

Полагая функции задачи (10.1.1) непрерывными и дифференцируемыми, а локальные минимумы существующими в замыкании множества , Фиакко и Мак-Кормик(1972) доказали, что при малых генерируемые алгоритмом точки существуют, сходятся к и выполняются соотношения:

1) ; (10.3.5)

2) и монотонно убывает; (10.3.6)

3) ; (10.3.7)

4) монотонно возрастает. (10.3.8)

10.3.5.Многократная безусловная минимизация

В алгоритме итеративно повторяется процедура безусловной минимизации по , при уменьшающихся значениях параметра , но не указано правило построения ряда . Однако это правило значимо влияет на объем вычислительной работы при поиске . Рациональное правило построения ряда должно отвечать компромиссу между небольшим числом сложных задач безусловной минимизации, получающихся при быстро убывающих значениях , и большим числом относительно простых задач, возникающих при медленном убывании .

Лутсма (1972) показал, что для обратной функции барьера (10.3.2)

, (10.3.13)

а для логарифмической функции барьера (10.3.3)

. (10.3.14)

Выражение (10.3.14) служит основанием для построения по формуле

(10.3.15)

Тогда точность оценки от шага к шагу возрастает, примерно, на порядок.

Выбор должен отвечать хорошей масштабируемости функции , при которой ни одна из величин и не доминирует над другой.

Другой выбор определяется формулой

. (10.3.16)

10.3.6.Проблемы применения барьерных методов

Применение стандартных алгоритмов безусловной минимизации для поиска минимума функции оказывается, как правило, не слишком успешным, особенно когда значение параметра мало и точка лежит вблизи границы допустимого множества .

При этом возникают следующие проблемы.

1.В стандартных алгоритмах безусловной минимизации предполагается, что целевая функция определена на всем пространстве. Для это условие не выполняется, причем, чем ближе к границе множества , тем реальнее сделать шаг за пределы (области определения ). Следовательно, необходима процедура проверки ограничений при спуске и эффективное правило сокращения недопустимого шага.

2.Во многих алгоритмах безусловной минимизации применяется одномерный поиск с квадратичной или кубической аппроксимацией целевой функции. Однако такая модель весьма плоха для аппроксимации барьерной функции с её особенностью на границе множества .

3.Обычные правила останова процесса безусловной минимизации оказываются малопригодными. Действительно, с уменьшением функция приобретает овражную структуру и в малой окрестности точки норма градиента функции может принимать очень большие значения. В таких случаях практически невозможно численно получить точку с близкими нулю величинами первых производных, а значит, правило окончания процесса минимизации по малости градиента неприменимо.

4.Овражность влечет за собой плохую обусловленность матрицы Гессе в окрестности решения. Как показано, например, Флетчером (1969), если в активны (т.е. нарушены) ограничений, то собственных значений матрицы будут порядка , а остальные собственных значений положительны и ограничены при любом . Это означает, что число обусловленности матрицы растет как и матрица “стремится” к особенной.