4. Ф ункція корисності (втрат). Лінійна функція корисності. Невід’ємна ф-я втрат.

Для будь якого розподілу та будь якої дійсної функції на множині , існує позначимо через математичне очікування функції відносно розподілу . Іншими словами :

Дійсна функція , задана на множині , називається функцією корисності, якщо вона має наступні властивості :

• Нехай та - два розподіли, для яких існує середнє та . Тоді в тому і тільки в тому випадку, коли . Для будь якого доходу число називається корисністю .

Таким чином, один імовірнісний розподіл варто вибирати ніж інший, тільки в тому випадку, коли очікувана корисність отримуваного доходу при першому розподілі більше, ніж при другому.

Корисність імовірнісного розподілу – це очікувана корисність доходу, отримуваного при даному розподілі.

Існує два важливих наслідки із слідства існування функції корисності :

по перше, якщо та - два доходи, то тоді і тільки тоді, коли . Цей результат є слідством із визначення функції корисності.

По друге, існування функції корисності гарантує спів ставність, широкого класу розподілів .

Відношення визначає деяку функцію корисності. Наступна лема показує, що у випадку існування функції корисності деякі її лінійні перетворення є також функціями корисності.

Лема 1. Нехай - функція корисності на . Тоді будь яка функція вигляду , де та - сталі , також є функцією корисності.

Доведення. Для будь якого розподілу середнє існує тільки тоді, коли існує . Нехай та - два розподіли з кінцевими середніми , . Так як - функція корисності, то в тому випадку коли .

Але

та в силу позитивності нерівність рівносильна нерівності . Відповідно - функція корисності.

Згадаємо поняття корисності та функції корисності, а вже від цього зробимо визначення функції втрат.

На множині нехай задано функцію корисності . Вважається, що функція може бути виміряна відносно існуючої алгебри підмножин .Для будь якого фіксованого рішення функція індукує імовірнісний розподіл на множині доходів . При будь якому значення визначається наступним чином .

Для цього необхідне виконання наступних умов : при будь якому множина належить алгебрі . Припустимо, що дана умова виконується для будь якого рішення . Тоді для будь якого імовірнісного розподілу , для якого функція є інтегрованою, середню корисність можно обрахувати за формулою

Коли рішення приймається без інформації про стан експерименту, називається параметром, а множина параметричним простором. В задачах рішення зазвичай кожному рішенню прийнято співставляти не корисність, як це робилось раніше, а втрати, що мають за сутність від’ємну корисність. Більш точно для всіх станів та всіх рішень втрати визначаються рівністю :

Видно, що задача рішень визначається параметричним простором , простором рішень та дійсною функцією втрат , що задана на декартовому добутку . Нехай імовірнісний розподіл параметру . При будь якому рішенні середні втрати , що називаються ризиком, визначаються за формулою

Слід зауважити, що інтеграл дискретний при всіх . Статистик має намагатися прийняти рішення яке буде мінімізувати ризик .

Невід’ємність втрат :

Нехай розподіл параметру в деякій задачі рішення є . Нехай далі є деяка стала, та - дійсна функція на параметричному просторі така, що інтеграл

(17.1)

дискретний. Розглянемо тоді нову функцію втрат , що визначена за початковою функцією втрат, та вона виглядає так : , Для будь якого рішення нехай позначує ризик, що відповідає початковій функції втрат , а - ризик, що відповідає новій функції втрат . Тоді для будь яких рішень відношення та рівносильні. Тобто рішення є тоді тільки баєсівським рішенням за розподілу для початкової функції, коли це рішення є баєсівським рішенням і для нової функції втрат, за того ж розподілу. Розглянемо тепер функцію , що задана для всіх формулою

Якщо інтеграл від функції задовольняє умові (17.1), то ми можемо замінити новою функцією втрат , що визначена для всіх параметрів та рішень рівністю

Функція має наступні властивості :для всіх параметрів та рішень, що належать відповідних просторам маємо :

та . В багатьох задачах зручніше мати справу з не від’ємними функціями втрат вказаного вигляду, хоча і здається, що в цьому випадку і здається, що у даному випадку статистик завжди приймає рішення, що не дає позитивного виграшу.