Розв'язування прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта 4-го порядку

Запишемо вихідну систему диференційних рівнянь (3.27) і (3.28) у вигляді

(3.103)

При розв'язуванні прямої геодезичної задачі виникає задача Коші з початковими умовами:

а формули Рунге-Кутта 4-го порядку для даної задачі, враховуючи (1.14) та (1.13), будуть мати вигляд:

(3.104)

де h - крок інтегрування ; i - 0,1,3, . . ., m-1 ; j - 1,2,3; m - кількість частин, на які ділиться весь відрізок інтегрування [0, s].

Якщо величина кроку інтегрування, що дає результати не­обхідної точності наперед невідома, то інтегрування виконується декілька раз, зменшуючи кожен раз крок вдвоє. Дана процедура повторюється до тих пір, поки результати повторно­го інтегрування відрізняються від попереднього на недопустиму величину.

Точність чисельного розв'язування прямої геодезичної задачі характеризується по­хибками кінцевих результатів інтегрування. Ці похибки одер­жуються в результаті накопичення похибок окремих кроків ін­тегрування.

Для визначення похибок і-го кроку звернемось до формул (3.104). Ці формули тотожні розкладам широти, довготи і азимута в ряди Тейлора до членів, що мають похідні четвертого порядку.

Так, для широти, це буде

Тому похибка інтегрування на і-му кроці рівна членам п'ятого порядку:

(3.105)

Підставивши значення похідних пятого порядку (3.34), (3.35), (3.36) отримаємо:

Приклад. а) при R=6380 км, B=45⁰ , A=45⁰ для різних відстаней (кроків інтегрування) отримаємо

Значення величин	h=50 км	h=100 км
	-8 10-8	-2 10-6
	-2 10-7	-8 10-6
	-3 10-7	-8 10-6

б) при R=6380 км, B=75⁰ , A=45⁰

Значення величин	h=50 км	h=100 км
	-5 10-6	-2 10-4
	-1 10-4	-4 10-3
	-2 10-4	-7 10-3

Отже, чисельний метод розв'язування прямої геодезичної задачі можна застосовувати практично на будь-яку відстань, за винятком тих випадків, коли геодезична лінія розташовується біля полюса, оскільки tgB прямує до нескінченності. В цьому випадку ефективним може виявитись процедура зменшення кроку інтегрування. Так, із зменшенням кроку інтегрування вдвоє, точність інтегрування збільшується в 2⁵. Проте в результаті заокруглень на кожному кроці може проходити поступове накопичення похибок із збільшенням числа кроків. Практичні розрахунки на комп’ютері показують, що при подвійній точності обчислень (16 значущих цифр) цей фактор суттєво не впливає на точність визначення координат і азимута напряму.

Розв'язування оберненої геодезичної задачі із застосуванням методу Рунге-Кутта 4-го порядку

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі практично в будь-яких відомих способах за основу приймається алгоритм розв'язування прямої геодезичної задачі.

У випадку розв’язування оберненої геодезичної задачі виникає краєва задача з граничними умовами:

Розв'язування краєвої задачі для системи диференційних рівнянь (3.103) можна виконати за методом проб. Суть цього методу, в нашому випадку, полягає в тому, що багато раз приходиться розв’язувати пряму геодезичну задачу за наближеними значеннями відстані s' та азимута A₁' , котрі кожен раз деяким чином уточнюються.

Для визначення початкових значень s' та A₁' необхідно розв'язати обернену геодезичну задачу наближеним способом. Краще всього це можна зробити, застосувавши алгоритм розв'язування оберненої геодезичної задачі на сфері (див. п. 3.4.2.а).

Уточнення значень відстані s' та азимута A₁' проводять на основі диференційних формул для геодезичної лінії (див. п. 3.5), аргументами яких служать відхилення отриманих із розв'язування прямої геодезичної задачі координат B₂’,L₂’ від заданих B₂,L₂, тобто :

(3.106)

де m - приведена довжина геодезичної лінії.

Після уточнення відстані s' та азимута A₁'

знову переходять до розв'язування прямої геодезичної задачі. Процес повторюють до тих пір, поки розходження координат B і L не будуть меншими за задані наперед величини.

Алгоритми та числові приклади розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач наведений у п.3.7.

111