Вивід диференційних рівнянь Бесселя
Позначимо (рис. 3.9 ):
-
нескінченно малий елемент
геодезичної лінії
на
еліпсоїді, якому відповідає елемент
в бесселевому зображенні на сфері;
- азимут елемента
;
і
- геодезична і приведена широти точки
;
і
- різниці широт і довгот точок
і
;
- різниця довгот точок
і
на сфері.
З цими позначеннями, прийнявши радіус сфери за одиницю, матимемо
(3.75)
(3.76)
звідки отримуємо
(3.77)
.
(3.78)
На основі (2.19)
,
отримаємо
.
(3.79)
Із (2.17) отримаємо
.
(3.80)
На основі (3.79) з врахуванням (3.80), а також помноживши чисельник і знаменник в (3.79) на , отримуємо
(3.81)
Вираз (3.81) з врахуванням (3.77) буде
звідки
(3.82)
На основі (3.78) і (3.82)
,
а,
враховуючи, що
,
отримуємо
(3.83)
Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя
Інтегруючи диференційні рівняння (3.82) і (3.83) уздовж дуги великого кола між її точками і , отримуємо
(3.84)
(3.85)
еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, поскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.
Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки, доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди, що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.
Почнемо з інтегралу (3.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент - приведену широту – через змінну .
Звернемось
до рис.3.10, на якому із точки
проведено дугу великого кола перпендикулярно
до продовження дуги
.
Утворився
прямокутний трикутник
,
катети якого
і
знайдуться за формулами
(3.86)
(3.87)
Із
прямокутного трикутника
,
розглядаючи точку
як точку на дузі великого кола
,
тобто з широтою
,
запишемо
(3.88)
звідки
(3.89)
Рис. 3.10
Тепер перетворимо рівняння (3.84)
Враховуємо,
що
,
,
де
мала піввісь еліпсоїда; тоді
Введемо позначення для сталого коефіцієнта заданої геодезичної лінії в підінтегральній функції
(3.90)
де
.
Тоді
.
(3.91)
Підінтегральну функцію розкладемо в ряд за формулою бінома Ньютона
Поскільки
величина
вміщує ексцентриситет (
)
– малу величину, то, очевидно, що цей
ряд доволі швидко сходиться .
Замінимо сінуси парних степенів через косінуси кратних дуг, на основі співвідношень:
(3.92)
Згрупуємо коефіцієнти при кожній функції з одинаковим аргументом і введемо позначення
(3.93)
Тепер вираз (3.91) запишемо в вигляді
(3.94)
Зауважимо,
що величина
,
яка визначається за формулою (3.87), для
даної геодезичної лінії величина стала;
інтеграли тригонометричних функцій в
рівності (3.94) обчислюються так:
(3.95)
В
результаті інтегрування (3.94) отримаємо
вираз для
в функції дуги
.
(3.96)
Ця формула застосовується при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі. При розв’язуванні прямої геодезичної задачі величина відома, треба визначити . Розв’язуючи (3.96) щодо , знайдемо
(3.97)
За формулою (3.97) сферична відстань визначається послідовними наближеннями. В першому наближенні можна прийняти
після чого (3.97) запишеться в вигляді
,
де
- номер наближення.
Наведені формули забезпечують точність обчислень 1 10-4 м в віддалі і 1 10-4 секунди в при будь-яких віддалях на земному еліпсоїді.
Перейдемо до обчислення інтегралу (3.85). Перед інтегруванням необхідно так перетворити підінтегральний вираз, щоб аргумент підінтегральної функції і змінна інтегрування були би одною і тією величиною.
Попередньо розкладемо підінтегральну функцію в ряд за формулою бінома Ньютона і проінтегруємо перший член отриманого ряду
(3.98)
В
підінтегральному виразі перейдемо від
змінних
і
до змінної
.
Згідно першого з рівнянь (3.76)
а
згідно (3.86), для поточної точки дуги
великого кола
.
Перемноживши останні вирази, отримуємо
.
(3.99)