1. Закрытый вопрос.

Испытуемому предлагается вопрос с готовыми вариантами ответов. При этом может быть только две альтернативы: «да» и «нет» – а могут быть вопросы с большим выбором ответов. Приведем пример:

Вопрос: «Что Вам интереснее всего при изучении методики преподавания математики?»

Возможные ответы:

«1) Вопросы общей методики.

2) Теоретические вопросы частной методики.

3) Решение задач школьного курса математики.

4) Вопросы факультативной и внеклассной работы по математике.

5) Прикладные аспекты математики.

6) История методики преподавания математики.

7) Занимательный материал по математике».

2. Открытый вопрос.

Отвечающий сам определяет объем ответа, содержание даваемой информации. В качестве примера открытого вопроса можно привести следующий: «В чем причины Вашего негативного отношения к курсу истории математики?»

Открытые вопросы, с одной стороны, дают возможность глубже проникать в суть исследуемых явлений, раскрывать позиции отвечающих, но с другой стороны, уровень ответов зависит от способностей испытуемых к письменному изложению своих, мыслей и в очень большой степени от желания участвовать в довольно непростом сотрудничестве.

На практике при составлении анкет используются различные типы вопросов в соответствии с потребностями исследования. Большое значение имеет сам процесс анкетирования. Многое зависит от проводящего опрос, его компетентности. Отвечающий должен быть убежден, что ему задаются вопросы с целью получения такой информации, которую нельзя получить из других источников. Внимательное, доброжелательное отношение к респондентам и строгое соблюдение всех этических норм являются необходимыми условиями опроса. Их нарушение снижает заинтересованность испытуемых в сотрудничестве.

Данные, получаемые в результате закрытого анкетирования, удобно размещать в специальных таблицах. Ниже приведен пример такой таблицы, которая составлена для 4-х закрытых вопросов (они обозначены римскими цифрами), каждый из которых имеет 6 вариантов ответов.

Таблица 1

Вопросы → Ответы	I	II	III	IV
1)	10%
2)
3)
4)
5)
6)

Результаты записываются в процентах от числа опрошенных, сдавших свои анкеты. Например, в приведенном случае на вопрос I ответ 1) дали 10% опрошенных.

Для открытого вопроса можно также использовать рейтинговую систему оценки. Обратимся к представленному выше вопросу «Что Вам интереснее всего при изучении методики преподавания математики?», – и попросим теперь опрашиваемых выбрать не один ответ, а пронумеровать их по степени убывания значимости. Таким образом, первый номер получает ответ, который содержит самый интересный элемент методики преподавания математики для респондента, а самый неинтересный получает номер семь. Другими словами, каждому ответу присваиваем номер (от 1 до 7), как в спортивных соревнованиях. Если мы хотим выяснить, что же интереснее всего группе опрашиваемых, то , нужно для каждого ответа найти сумму мест. Наименьший будет соответствовать 1-му месту, т.е. наиболее предпочтительному разделу методики преподавания математики, наименьший – последнему месту, т.е. самому неинтересному вопросу. Наглядно это можно представить в виде столбчатой диаграммы. На рисунке 2 изображена такая диаграмма, соответствующая представленному вопросу. По оси Ох представлены номера вопросов, по оси Оу – процент опрошенных, поставивших данный ответ на первое место – положительный рейтинг (ему соответствует белый столбик), и на последнее место – отрицательный рейтинг (которому соответствует черный столбик). Заметим, что сумма процентов, составляющих белые столбики, должна равняться 100% (аналогично и для черных столбиков).

Заметим, что нами приведены реальные данные, полученные при опросе 28 студентов IV курса математического факультета педагогического университета.

Рис.2

Для изучения различных индивидуальных особенностей обучающихся обычно применяется метод тестирования. Понятие «тест» в последнее время используется очень широко. Мы будем понимать тест как испытание вполне определенного рода. «Испытание – это задание, идентичное для всех участвующих в обследовании людей, с точно определенными способами оценки результата и их числового выражения» ([14], с. 122). Тесты бывают психологические, педагогические и дидактические. С помощью первых изучаются личностные качества учащихся: умственное развитие, воображение, мышление, память, способности и т.д. Педагогические тесты служат для определения влияния конкретного педагогического воздействия, например, нравственного, эстетического, эмоционального, волевого и др. Напротив, дидактические тесты содействуют изучению успешности программного материала. Для получения нужной информации на практике применяются все виды тестов. Они бывают индивидуальными и групповыми.

Тесты должны удовлетворять критериям качества, к которым относятся:

1. Валидность (от латинского слова vaildas – крепкий) – степень соответствия между тестом и оцениваемым качеством личности.

2. Надежность – степень точности, с которой тест измеряет определенное качество личности.

3. Объективность – степень независимости результатов тестирования от исследователя.

При составлении тестов необходимо придерживаться следующей схемы:

а) определить цель тестирования;

б) составить первый вариант (черновик) теста и определить, удовлетворяет ли он названным критериям качества;

в) опробовать тест на небольшой репрезентативной выборке (оптимально достаточной для возможности использования теста) испытуемых и внести необходимые исправления и дополнения;

г) разработать правила обработки и интерпретации полученных результатов.

Как видим, методика составления и использования тестирования требует дополнительных профессиональных знаний. В связи с этим мы не рекомендуем заниматься самодеятельностью при составлении тестов, а пользоваться готовыми тестами, которые удовлетворяют всем критериям качества и составлены авторитетами в этой области. Укажем необходимую литературу:

Аванесов B.C. Формы тестовых заданий: Учебное пособие. – М.; 1994.

Айзенк Г. Проверьте свои интеллектуальные способности. – 2-е изд. – Рига: Виеда, 1992.

Айзенк Г. Узнай свой собственный коэффициент интеллекта. – М.; 1993.

Акири И.К. Логические тесты на уроках математики //Математика в школе. – 1994. – № 6. – с.27.

Анастази А. Психологическое тестирование. Том 1. Том 2. – М.: Педагогика, 1982.

Гайда В.К., Захаров В.П. Психологическое тестирование. – Л.: ЛГУ, 1982.

Квашко Л.П. Тестовая проверка уровня усвоения знаний //Математика в школе. – 1994. – № 4. – с.49.

Пардала А. Тест как средство исследования пространственного воображения //Математика в школе. – 1995. – № 3. – с.75.

Соловьев Н.В. Тесты (теория, построение, применение). – Новосибирск: Наука, 1978.

Федоров Е.Б. Контрольные тесты-анализы //Математика в школе. – 1991. – № 3. – с.27.

Большое количество конкретных разработанных дидактических тестов опубликовано в последние годы в газете «Математика» (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), например, в первом полугодии 1996 года:

Васильева В., Забелина С. Тестовые задания по алгебре и началам анализа для 10 класса //– № 8. – с.4.

Кидисюк Г. Тестирование по теме «Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция и ее свойства» //– № 9. – с.4.

Азлецкий С. Стандарт для нестандартных детей //– № 14. – с.1.

Бродский Я., Павлов А. Тесты «Математика–9» //– № 15. – с.7; – № 16. – с.25 и др.

В качестве примера приведем содержание 10 психологических тестов, которые мы предлагали учащимся 10-х классов в самом начале учебного года. Цель тестирования – изучение их индивидуальных особенностей. При этом заметим, что тесты носили исследовательский, а не диагностирующий характер, потому что классы уже были сформированы, и именно с этими ребятами предстояло работать. Наши экспериментальные задания были направлены на то, чтобы вскрыть качественные особенности познавательных процессов. В первую очередь, нас интересовали особенности восприятия, пространственных представлений учащихся, соотношение наглядно-образного и словесно-аналитического компонентов деятельности, а также направленность интересов старшеклассников. Предлагались тесты, рекомендованные известными специалистами в этой области (А. Анастази и Г. Айзенком), поэтому тесты не требовали дополнительной проверки на выполнение критериев качества: валидности, надежности и объективности. Ниже приведено их содержание.

Тест № 1. – Преднамеренное запоминание.

Учащимся предлагается внимательно прослушать 21 слово и постараться запомнить их. Затем в течение 3-х минут записать эти слова.

Перечень слов тестового задания:

Доказательство (т); фантазия (г); план (п); пропорция (?п?); интуиция (г); повторение (п); суждение (т); выразительность (г); пример (п); плоскость (т); небеса (г); место (п); ?истина? (т); тайна (г); тетрадь (п); ось (т); сочинение (г); ?запись? (п); уравнение (т); чувство (г); таблица (п).

В скобках после каждого слова указаны индивидуальные особенности учащихся, которые понадобятся для обработки данного теста, а именно:

«т» – означает теоретик, «п» – практик, «г» – гуманитарий, что будет соответствовать теоретическим, практическим и творческим гуманитарным склонностям учащихся.

Тест № 2. – Непреднамеренное запоминание.

Учащимся предлагается внимательно прослушать несколько слов, причем после каждого они могут в течение 15 секунд сделать рисунок, символизирующий это слово. На расшифровку рисунков дается затем 3 минуты.

Перечень слов:

теорема (т); поиск (г); чертеж (п); сумма (т); литература (г); дробь (п); функция (т); идея (г); формула (п); математика (т); секрет (г); цифра (п); условие (т); волшебство (г); учебник (п); переменная (т); фантастика (г); ответ (п); умножение (т); красота (г); график (п).

Тест № 3. – Логическое мышление.

Выберите нужную фигуру и поместите ее в квадрат (рис.3).

Задание рассчитано на 3 минуты.

1	2		3	4		5	6

Рис. 3

Тест № 4. – Выяснение закономерности.

1) Вставьте пропущенное число (рис. 4).

2) Вставьте пропущенное число (рис. 5).

Время исполнения 3 минуты.

Рис. 4

Рис. 5

Тест № 5. – Образное мышление.

Выберите нужную фигуру из пронумерованных (рис.6):

1	2		3	4		5	6

Рис. 6

Следует отмечать (и объявлять в классе) интервалы времени: 1 минута, 1,5 минуты, 2 минуты (если к отметке времени задание готово, ученик фиксирует это на контрольном листе).

Тест № 6. – Нестандартность мышления.

а) Требуется соединить замкнутой ломаной из 3-х звеньев точки, расположенные в вершинах квадрата;

б) требуется из шести одинаковых палочек (спичек) сложить четыре треугольника.

Ответы представлены соответственно на рисунках 7, а,б.

Задание рассчитано на 3 минуты.

а)

б)

Рис. 7

Тест № 7. – Тест на аналогии.

а) Какую букву поставить на шестое место (рис.8)?

б) Какой из представленных фигур соответствует приведенная развертка (рис.9)?

Рис. 8

Рис. 9

Тест № 8. – Зрительное восприятие.

а) Исключите лишнюю фигуру (рис.10);

б) вставьте пропущенную фигуру, выбрав из четырех пронумерованных (рис.11).

Задание дается на 3 минуты.

Рис. 10

Рис. 11

Тест № 9. – Пространственное воображение.

Посмотрев на рисунок, необходимо выбрать те фигуры, которые пройдут в щель (рис.12).

Время исполнения 2,5 минуты.

Рис. 12

Тест № 10. – Пространственное воображение.

Укажите, какие из фигур могут быть полностью закрыты черными квадратами (рис.13).

Время исполнения 2, 5 минуты.

Рис. 13

Обработка тестов и оценка результатов.

Тест № 1. Прежде всего нужно сосчитать коэффициент запоминания k: , где К – количество правильно запомненных слов, в знаменателе стоит общее количество слов, предложенных в тесте.

Если среди запомненных преобладают слова с одним индексом (которые помечены буквами «т», «п», «г», то склонности учащегося следует характеризовать в соответствии со значением этого индекса. В других случаях определение склонностей учащегося идет по коэффициенту k по соответствующей таблице (таблица 2).

Если учащийся воспроизвел менее 4 слов, то он получает штрафное очко, и в формуле индекса его адекватности (которая будет приведена ниже после всех тестов) параметр а увеличивается на 1.

Таблица 2.

Характер склонностей	Уровень запоминания	Значение k
Теоретики	Низкий	менее 0,3
Практики	Средний	от 0,3 до 0,5
Гуманитарии	Высокий	более 0,5

Тест № 2. Если среди воспроизведенных слов преобладают слова с одним индексом («т», «п», «г»), то склонности учащегося определяются в соответствии с этим индексом. Если такого преобладания слов с одним индексом нет, то определение склонностей производится по величине М в соответствии с данными таблицы 3.

Таблица 3.

Характер склонностей	Уровень запоминания	Значение М
Теоретики	Низкий	менее 11
Практики	Средний	от 11 до 13
Гуманитарии	Высокий	более 13

Если учащийся воспроизвел в памяти менее 8 слов, то он получает штрафное очко, и в формуле индекса его адекватности параметр а увеличивается на 1.

Тест № 3. Если учащийся дает неверный ответ (низкий уровень логического мышления), то его склонности по этому тесту относятся к практическим, и он получает штрафное очко, а в формуле индекса его адекватности параметр а увеличивается на 1. «Теоретик» – решал задачи более 1,5 минут; «Гуманитарий» – до 1,5 минут.

Тест № 4. Оценка результата этого теста зависит от количества решенных задач в соответствии с данными таблицы 4.

Таблица 4.

Характер склонностей	Уровень логического мышления	Количество решенных задач
Теоретики	Низкий	0
Практики	Средний	2
Гуманитарии	Высокий	1

Тест № 5. Если учащийся сделал неверный выбор, то его склонности по этому тесту относятся к «практикам». Неверный выбор по данному тесту не влияет на индекс адекватности учащегося. Оценка правильного ответа производится по времени, которое потребовалось ученику для ответа в соответствии с данными таблицы 5.

Таблица 5.

Характер склонностей	Уровень образного мышления	Время
Теоретики	Высокий	от 1 до 2 минут
Гуманитарии	Очень высокий	до 1 минуты

Тест № 6. Если учащийся правильно решил обе задачи (высокий уровень нестандартного мышления), то склонности по этому тесту следует оценить как гуманитарии. Если учащийся правильно решил только одну задачу (средний уровень), то его склонности оцениваются как «практик». Если обе задачи решены неверно или вообще не решались (низкий уровень), то склонности учащегося следует отнести к «теоретикам». При этом штрафными очками он не наказывается.

Тест № 7. Если учащийся правильно решил обе задачи (высокий уровень), то его склонности по этому тесту следует оценить как «теоретик». Если учащийся правильно решил только одну задачу (средний уровень), то его склонности оцениваются как «практик». Если обе задачи решены неверно или вообще не решались (низкий уровень), склонности учащегося следует отнести к «гуманитариям». При этом штрафными очками он не наказывается.

Тест № 8. Если учащийся правильно ответил на обе задачи, то у него высокий уровень восприятия, и его склонности следует оценивать, как «гуманитарий». Если учащийся правильно решил только одну задачу, то его склонности оцениваются как «теоретик», если же не решено ни одной задачи, то учащийся оценивается как «практик» (низкий уровень восприятия).

Тест № 9. Если отклонение от правильного ответа от 0 до 2 мм, то склонности по этому тесту оцениваются, как «теоретик», если отклонение от правильного ответа колеблется от 3 до 4 мм – то «гуманитарий», в остальных случаях – «практик».

Тест № 10. Если учащийся дал неверный ответ (низкий уровень пространственного воображения), то его склонности по этому тесту относятся к практическим, он получает штрафное очко, а в формуле индекса его адекватности параметр а увеличивается на 1. Если учащийся дал верный ответ меньше, чем за минуту, то по этому тесту он оценивается как «теоретик».

Для вывода формулы склонностей подсчитывается количество теоретических, практических и гуманитарных склонностей учащегося по всем 10 тестам и записывается следующая формула: хТ + уП + zГ. Индекс адекватности I определяется по формуле: , где а – число штрафных очков, в нашем случае его максимальное значение равно 4. Максимальное значение I равно 1, минимальное – 0,6.

В проведенном нами тестировании принимало участие 34 ученика (19 из гуманитарного класса и 15 из математического). Результаты приведены в таблице 6 (Т – теоретики, П – практики, Г – гуманитарии, а – число штрафных очков; указано количество учащихся, получивших ту или иную оценку, а не процент от общего числа принимавших участие в тестировании).

Таблица 6.

№ теста	Гуманитарии				Математики
	Т	П	Г	а	Т	П	Г	а
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	1 0 7 2 5 3 1 17 9 7	12 1 5 9 2 11 8 1 3 3	6 18 7 8 12 5 9 1 7 9	0 0 5 3	5 1 2 6 7 1 6 10 9 8	9 8 5 4 2 10 3 3 6 0	1 6 8 5 6 4 6 2 4 7	1 0 5 0

Проведенное тестирование показало, что учащиеся гуманитарных и математических классов по результатам мало отличаются друг от друга. Более того, гуманитарии по некоторым тестам имеют более высокие показатели. Например, у них лучше показатели по тестам № 1 и № 2 – соответственно преднамеренное и непреднамеренное запоминание. В тесте № 2 гуманитарии оказались более изобретательными в зашифровке слов с помощью рисунков, причем из 21 слова три человека смогли запомнить все слова и шесть человек – 19 слов, это прекрасный показатель, в то время, как у математиков, наивысший показатель – 17 слов, имеет только один человек. По первым тестам среднее количество запомненных слов у гуманитариев 8,8 и 15,9; у математиков эти показатели соответственно равны 5,6 и 9,6. По тесту № 3 учащихся с низким уровнем логического мышления оказалось одно и то же количество (в процентном отношении у математиков этот показатель даже выше). Гуманитарии не хуже математиков нашли закономерности в тесте № 4, хорошо справились с заданием теста № 5 – образное мышление, причем 12 человек из 19 меньше, чем за минуту (в то время, как у математиков – только 6 человек из 15). И в последующих тестах полученные результаты очень близки. В тесте № 8 первое задание оказалось трудным как для гуманитариев, так и для математиков, ребята не смогли увидеть, что все фигуры, кроме треугольника, имеют центр симметрии.

Данное тестирование показало также, что учащиеся гуманитарных классов быстрее справляются с заданиями, быстрее включаются в работу, у них сильнее развито образное мышление, они лучше запоминают информацию, что связано с особенностями нервной системы. Отметим, что гуманитариям интересно отвечать на вопросы тестов, они это делают с удовольствием и смело пишут свою фамилию на контрольном листе, в то время как большинство математиков скорее исполняют тестирование по необходимости и предпочитают анонимное тестирование.

Проведенное тестирование (а в последующем мы неоднократно прибегали к этому методу, т.к. он понравился ребятам) еще раз подтвердило и укрепило нас в мысли, что неспособных ребят нет. Есть школьники с разными индивидуальными особенностями, которые необходимо учитывать и использовать при построении любого школьного курса, в частности математики. При изучении же традиционного курса происходит обратная картина: мы хотим, чтобы все учащиеся одинаково хорошо изучили некоторый определенный материал. Но этот материал и методы его изучения отвечают индивидуальным особенностям только части ребят. При этом другие учащиеся, как правило, причисляются к неспособным по математике. Внедрение дифференцированного обучения открывает широкие возможности для изучения математики учащимися различной профильной ориентации.

Для проверки доступности и усвоения предлагаемых учебных материалов чаще всего прибегают к методу диагностирующих контрольных работ. Эти работы могут быть длительными и занимать целый урок, а также кратковременными, рассчитанными на 10–15 минут. В содержание письменных работ включаются ответы на теоретические вопросы, решение задач, выполнение рисунков, чертежей, схем и т.п. Кратковременные работы могут проводиться в форме математических диктантов, когда учитель диктует вопросы, а учащиеся отвечают на них, не переписывая при этом условий заданий. Вопросы в таких работах должны иметь четкую формулировку и предполагать краткий ответ.

Результаты контрольных работ удобно размещать в специальных таблицах, данные в которых даются в процентах от числа писавших работу. Приведем пример контрольной работы и таблицы к ней. Она предлагалась 24 учащимся десятого гумани­тарного класса при изучении темы «Параллельность в пространстве». Содержание работы:

Контрольная работа.

1. Изобразите куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите две пары параллельных ребер и две пары непараллельных ребер.

2. В тетраэдре ABCD найдите и запишите все пары скрещивающихся ребер.

3. Сторона АВ параллелограмма ABCD принадлежит плоскости α. Сторона DC не принадлежит этой плоскости. Как расположена DC относительно плоскости α? Почему?

4. Докажите, что (A₁B) параллельна грани DD₁C₁C куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

Результаты этой контрольной работы приведены в таблице 7.

Таблица 7.

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно	Не приступали к заданию
1 2 3 4	81% 67% 57% 57%	19% 33% 43% 33%	– – – 10%

Результаты приведенной контрольной работы очень неплохие. Некоторые затруднения вызвали две последние задачи. В третьей задаче пять учеников не смогли правильно представить пространственную ситуацию, описанную в задаче, и отсюда, как следствие, не смогли верно сделать вспомогательный чертеж. В четвертой задаче четыре ученика не смогли преодолеть ограниченность отрезков, т.е. перейти от отрезков к прямым, на которых, эти отрезки лежат, и верно применить признак парал­лельности двух плоскостей.

Заметим, что суммы чисел по строке должны равняться 100 (100% – все ученики, писавшие и сдавшие работу).

Для более глубокой оценки знаний и умений учащихся по определенной теме часто используют коэффициент усвоения учебного материала (К). Учащимся предлагается несколько вопросов. Правильный ответ оценивается баллом «1», неправильный – «0». Затем для каждого ученика подсчитывается общее число верных ответов и следующим образом определяется К:

.

Можно установить шкалу оценок по коэффициенту К, например по пятибалльной системе – таблица 8.

Таблица 8.

Значение К	Оценка
0,95 < К 1	5
0,75 < К 0,95	4
0,5 < К 0,75	3
0 К 0,5	2

Приведенная шкала носит условный характер, который может быть изменен в зависимости от конкретных условий. Для того, чтобы при выполнении диагностирующих работ информация была более полной, рекомендуем каждое отдельное задание делить на вопросы, позволяющие получить вполне определенный спектр сведений и исключить двойственное толкование результатов.

Все названные практические методы исследования применяются в комплексе при проведении педагогического эксперимента. Его сущность охарактеризована Ю.К. Бабанским следующим образом ([1], с.100): «... эксперимент ставит изучаемые явления в определенные условия, создает планомерно организуемые ситуации, выявляет факты, на основе которых устанавливается неслучайная зависимость между экспериментальными воздействиями и их объективными результатами».

Различают несколько типов эксперимента, а именно:

1. Констатирующий.

2. Поисковый.

3. Обучающий.

4. Контролирующий.

Названия определяют суть экспериментов. Так констатирующий эксперимент обычно предшествует всем остальным. Причем в нем дается не просто констатация состояния изучаемого объекта, а проводится широкий анализ данного вопроса в практике обучения. В ходе поискового эксперимента происходит первичная апробация предлагаемых в диссертации материалов. В процессе его проведения, как правило, вносятся изменения, коррективы, дополнения, различные усовершенствования. Обычно он проводится на небольшой группе учащихся. В обучающем эксперименте предлагаются материалы с внесенными добавлениями, уточнениями, и он проводится уже на большем количестве учеников, по сравнению с обучающим экспериментом. В процессе проведения контролирующего эксперимента происходит сравнение достижений экспериментальных классов, которые обучаются по новой предлагаемой в диссертации методике, и контрольных классов, где обучение ведется по традиционной методике.

Обычно в реальной практике не различают типы экспериментов, а рассматривают их как этапы одного эксперимента, причем в указанной последовательности. Ниже, в следующем параграфе, будет предложено описание проведения педагогического эксперимента по конкретной теме диссертации.

Для более объективной оценки получаемых экспериментальных данных широко применяются методы математической статистики. В данной работе мы не будем останавливаться на этой отдельной большой и многоаспектной теме. Существует обширная литература по этому поводу. Любознательного читателя отсылаем к замечательной книге М.И. Грабаря и К.А. Краснянской «Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы» (М.: Педагогика, 1977).