Тема 1 основы статистики носителей заряда в металлах и полупроводниках Краткие теоретические сведения

Количество энергетических уровней лежащих в интервале от 0 до Е, в кристалле объемом V определяется выражением

(1)

В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться по два электрона с разными ориентациями спина. Поэтому число квантовых состояний с энергиями от 0 до Е будет в два раза выше:

(2)

Пусть кристалл имеет единичный объем V=l. Обозначим через dN число разрешенных состояний, приходящихся на единицу объема и лежащих в пределах от Е до E+dE. Тогда число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии dE, есть плотность энергетических состояний:

(3)

С учетом (2) плотность состояний будет равна

(4)

Таким образом, плотность энергетических состояний (уровней) т.е. увеличивается с ростом Е и возрастает с увеличением m*.

Распределение электронов в металле

Согласно зонной теории, последняя разрешенная зона металла заполнена электронами не полностью. При Т=0 К электроны последовательно заполняют энергетические уровни с низшего до уровня Ферми. Уровень Ферми отделяет занятые состояния от свободных, т.е. Е_F - это максимальная энергия, которой могут обладать электроны при Т=0 К.

Выражение (2) описывает число разрешенных квантовых состояний для электронов, имеющих энергии от 0 до E. Следовательно, число электронов в металле также можно определить, используя (2):

(5)

Отсюда получаем

(6)

Подставляя в (6) константы, и принимая для металлов получаем оценку для  эВ. Это очень большая величина. Обычные молекулы газа имели бы такую энергию при Максимальная скорость ферми-электронов

(7)

и практически не зависит от температуры. Например, при 300 К энергия тепловых колебаний решетки (3/2)×kT оказывается порядка 0,04 эВ, т.е. значительно меньше, чем Е_F. При часть электронов под действием теплового возбуждения переходит на уровни, лежащие выше Е_F Средняя энергия теплового возбуждения одного электрона – порядка . Для всех температур, меньших температуры плавления металла, величина kT в сотни раз меньше Е_F. Поэтому тепловому возбуждению подвергаются только электроны, находящиеся в узком слое уровней энергий толщиной порядка , расположенном непосредственно под уровнем Ферми. Большая же часть электронов остается на своих местах, так как для них энергии теплового возбуждения недостаточно, чтобы перескочить на свободный уровень, лежащий выше уровня Ферми, а все уровни с близкими значениями энергии уже заняты другими электронами и их дополнительное заполнение запрещено принципом Паули. Оценим число термически возбужденных электронов . При T=0 К в интервале значений энергии от 0 до Е_F находится N электронов. При К тепловому возбуждению подвергаются только электроны, лежащие в полосе вблизи уровня Ферми Е_F. Число электронов, приходящихся на полосу , равно . Считая, что возбуждению подвергается половина из них, получаем

(8)

Подставляя константы и полагая, что Е_F=5эB, (при T=300⁰C), получаем, что .

По тем же причинам участвовать в электропроводности могут только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. Различные процессы рассеяния при токопереносе препятствуют переводу ферми-электронов на свободные энергетические уровни, расположенные значительно выше Е_F, что не позволяет участвовать в электроперескоке электронам с низших уровней, поэтому в случае металлов следует различать свободные электроны и электроны проводимости, число которых значительно меньше.

Таким образом, распределение электронов в металле при любой температуре мало отличается от распределения при температуре, равной нулю, т.е. концентрация носителей в металле от температуры практически не зависит.