21. Диффузионные пр-сы (непр-е в пр-ве и времени)

– непр, ; Классич. примеры: броуновское движение; движение частиц в пр-ве в непр-ых корд-ах; пр-с описывающий скорость ветра. – исходный процесс. ; ; ∢ = (1) – то это МП. = ; - плотность вер-ти перехода. Полностью определяет МП и должна удовл-ть след св-ам: 1. , ; 2. ; 3. (2); (2) явл-ся аналогом ур-я Колмогорова-Чепмена для непр МП. ] - начальная плотность (определяет нач сост пр-са). Тогда ; переход от МЦ к непр МП. ∢ дискр блуждание на мн-ве целых чисел; ; ↝ = + + ; Б сч что за вр ч-ца м пер-ся на либо на ; ] , тогда (*); ] ; (3); (4); ] , ; : (5); (6); (7); (8); Для того чтобы дифф-ый пр-с существовал, пределы (7), (8) д.б конечными. (7), (8) определяют допуст значения , а также тот факт, что должны согласованно 0; ] ; ↝ ; , ; Если (7), (8) сущ-ют, положительны и ограничены, тогда непр МП должен удовл след условиям: 1) ; 2) ; Вернемся к (*) и заметим ; ; Подставив это разложение в (*), выразим ч/з разделим на ; ↝ ; (9); - параболическое уравнение. Впервые было получено в теории дифф-ии, а затем независимо при изучении непр МП-ов (в теор диф-ии наз-ся ур-е Фонера-Планка, а в теор МП – прямое ур-е Колмогорова). Обратное: ;

.

23. Дискретное случайное блуждание в радиобиологии.Рассм. лучевое поражение некоторой биологической системы, когда некоторый чувствительный объём облучается радиочастицами, излучение разрушает молекулы чувствительного объёма, который впоследствии может восстанавливаться. Пусть -размер объёма поражения. – повреждение очередной молекулы. – восстановление. – нач. сост. – поглащ. сост. .

. Рассм вер-ть поглощения в замкн. мн-ве. P­_I – вероятность гибели системы пи условии, что процесс стартует из i. P_i= . P_i= (4) P₀=0 P_n=1. P_i= . F(s)= . F(s)= . F’(s)= . . (6). . .

1 .

.

. Модель можно применить к группам организмов. Рассмотрим группы из N организмов: S(n₀) – вероятность, что после облучения выживут n₀ организмов

- биномиальное распределение

22. Граничные условия

- пл-ть вер-ти; ; ; (11); условия: – условие нормировки. – ур-е непрерывности или условие сохранения числа частиц. ; М.б. построено 2 вида гр условий: или ; ] ; а) – условие зеркальных или отражающих экранов. Б) – условие поглощающих экранов, т.е. достигнув экрана, частица прекращает блуждание. Комбинация а), б) называется жестким экраном. ЖЭ поглощает нек часть частиц, а остальные отражает. ; Существ-ют м вр t для кот не вып-ся условие нормировки. Для их описания используется обратное ур-е. Опр: диф-ый пр-с регулярный, если его трыв с вер-ю покидает любое мн-во вида ч/з внутр точки ; Если , то такой пр-с наз-ся возвратным. регулярный, если на ; Пример диф-го пр-са (пр-с Винера-Леви): (1); – коэф-т диффузии. (в теории сл пр-ов). - плотность. - (2) – прямое ур-е Колмогорова. , , (3); (4); ] , поглощающий экран ↝

20. Модель популяций хищник-жертва. S₁ – Жертва(хозяин); S₂ – хищник(паразит); Рост популяции = f(частоты столкновений). f(x₁(t), x₂(t)), где x₁ , x₂ –численности S₁,S₂ ; Рассм. Интервал (t, t+ ) на изменение числ-ти S₁ в интервале влияют: -частота рождений; -частота гибели от ест. причин; -частота гибели от столкн. c S₂ ; Пусть число рожд и гибели от е. п. на интервале пропрц. Числ-ти вида S₁, а число гибелей от столк. с S­₂ ~ x₁*x₂; ; = const >0;

;

решение (2) – период-ая ф-ия. Пусть x(t) – числ S₁ ; y(t) – S₂ ; x,y – сл величины. Рассм. P_xy(t)=P{x(t) = x, y(t) = y} Постулаты развития процесса: 1. S₁: x x+1 (t, t+ ); вер-ть: ; 2. S₁ : x x-1 (t, t+ );вер-ть: ; 3. S₂: y y+1 (t, t+ ); вер-ть: ; 4. S₂: y y-1 (t, t+ ); вер-ть: ; 5. S₁ и S₂ : x x ± n; yy ± n ; n > 1; (t, t+ ) вер-ть: ; 6. xx; yy (t, t+ ); вер-ть: … в билете процесс РиГ для P_x(t+дt) ; - разностное ур-ие. (3) будем адаптировать (3) к этой модели:

; ; (6)

применив метод производ ф-ий к (3)(6), получим след. Сист. Ур. Для определенных нами м. о.

(7) вместо произведения - корреляция