18. Расходящийся процесс рождения

Как было показано выше ф-ии однозначно опр-ся соотв системой ДУ. Одна также необх исследовать вопрос выполняется ли: ? (7); ? (8); Левая часть (8) выр-ет вер-ть того, что за вр t, произошло кон число изменений состояния пр-са x(t); – вер-ть взрыва. Если трактовать велинчины λn как среднюю скорость роста x(t) при размере n, то возможно что пр-е достигает -го объема за кон время. Если д/ПЧР имеет место (8), то он называется нерегулярным (расходящимся). Если (7), то регулярным. РИС – конечное значение в вер-ю 1, РИС – до успевает достичь -го объема, достиг, но объем -ый – нерегулярный (рсх-ся); !!! Сначала надо выяснить регулярный или рсх-ся пр-сс. Есть теор д/проверки. Теор (Феллера-Лудберга): Д/ПЦР c пар-ом t:  рсх. Док-во: ] (9), ; применив ур-я (3), (4), получим: ; или ; ↝ (10); Посл-ть – монотонно возрастает ограничена единицей. ↝ моно уб-ет и также огр снизу и имеет предел ↝ (11); (9), (11) ↝ (12); ↝ , поэтому, если выполняются условия теоремы, то t ↝ ↝ ; Если же ряд, указанный в усл теор сх, то сл-но все суммы стоязие в правой части (12) опр для любого ↝ , a – стремится к пределу, кот . Т.о. теорема доку-на, усл. Явл-ся необх и дост-м

16. Пример вложенной МЦ. Пример вложенной МЦ: M/G/1; | | | | | (); поток пост-я заявок явл-ся Пуассоновским. -время обслуживания n-ой заявки. - нек ф-я , кот нам известна. Если явл-ся показат-м распр-ем, тогда м определить - число заявок в с-ме в м-т вр t, кот осбл-я, если – показательная ф-я распр-я то явл-ся случайным разрывным МП и это б пр-с Р и Г. Если – какая-то др ф-я р-ия, тогда потеряет марковское св-во и полум-им сл пр-ом не б явл-ся. Для анализа используем метод вложенных цепей маркова. - м-т окончания обсл-ия требования n. Рис: – за время обсл приходят нвоые заявки. - зафиксированные кол-ва новых заявок – не явл-ся МЦ. Теперь чтобы анализировать, надо построить м-цу переходов. ; , , если ; Теперь м записать м-цу: ; ; = , ;

14. Обратное уравнение для пмп. Вложенный мц и пмп.

] ∢ пр-сс описыающий сост с-мы; , , ; В нек случаях посл-ть можно таким образом, что будет МЦ. Тогда процесс исследуется в 2 этапа: сначала исследуется соотв-ая МЦ, а затем на основе результатов такого анализа исходный сл-ый пр-сс. Посл-ть называется вложенной МЦ. ] , , – матрица переходов. Опр: ПМП наз-ся ступенчатый пр-сс 1) ; , пр-сс сохраняет постоянное знач на полуинт-ах; 2) Если , мы ∢ ; им соотв-ет ; Все эти временные величины явл-ся нез-ми и имеют след ф-ю распр: = , тогда (1); Рис – ПМП (значеняи на интервал, не включая справа), (скачки) – образуют МЦ; Рис – вложенный МП (ступень вразброс); – МЦ. Здесь м/у скачками значение м меняться и в не обязательно моменты скачков в отличие от МПМ!!! – ф-я распр-я вр-ни до след скачка. Свойства ПМП сущесвтенным образом определяются св-ми вложенной в него МЦ-пи. - эргодическая, если . ] неотриц ф-я 1) , кроме м.б. их конечного числа (2); 2) (3); Теор1: Если МЦ явл-ся неприводимой апериодической и удовл (2), (3), то такая МЦ явл-ся эргодической. Основные соотношения для ПМП Введем ф-ю , . Из ф-лы полной вер-ти ↝ (4); из (4) ↝ , если (символ кронекера).

, - такой же ПМП, стартующий из сост-я c м-та времени . Используя ф-лу полн вер-ти м записать: (5), ; Для ПМП допускается -ое время пребывания в с-ии , т.е. , т.о. в 1-ом слагаемом ур-я (5) мы искл вер-ть того, что попав в сост , мы останемся в нем навсегда. Введем преобр-ие Лапласа: ; , ; Считаем что – компл. переменная, причем знак вещ части такой-то. Применив преобр Л-са к ур-ю (5), мы получим: + (6); Если в качестве подставить нек значение , то (6) превратится в лин сист алгебраических ур-ий: если , то м , тогда . Определитель (6) б 1 и если , тогда опр-ль с-мы (6) б явл-ся аналитической ф-ей кот = 0 только в отдельных т-акх и след-но, если число с-ий пр-са конечно, то (6) имеет !-ое решение в случае, если ПМП явл-ся регулярным (совершается конечное число переходов за конечное время). Б считать (7); ур-е (5) - обратное, составим прямое ур-е. ] – среднее число пер-ов пр-са на интервале ; Моменты этих переходов образуют процесс восстановления, для которого – является ф-ей восст-я. ; + (8) – прямое уравнение. Теперь применим преобр-ие Лапласа-Стилтиса: ; Применив к (8), получим: = + ; (9) – прямое уравнение. Заметим, что событие м произойти в 2х случаях: 1) и . 2) , за приходов не было. Тогда м окончательно записать + (10); Заметим что (10) полностью определяет при условии что известна ф-я вост-я ; = + (11); Здесь непоср-но получаем выр-е для образа ф-ии ; Эргодические свойства ПМП. , т.о. - мат ож времени пребывания пр-са в сост . ] и – явл-ся эргодической и имеет стац р-ие ; Теор 2: ] - время в теч которого пр-с нах-ся в сост ; Тогда, если и , то (12); Теор 3: ] выполнены усл-я Теор2 и хотя бы для одного : , – не решетчатое распр-е, тогда (13);

19. Модель борьбы двух популяций за пищу. Рассм. Вид S, определим x(t) – число особей вида S в мом. времени t; Развитие вида опр логической кривой ; - интенстивности рождения и гибели особей вида. f(x) – строго возр ф-ия f(0)=0 (сопр. среды);

Рассм виды S₁, S₂, которые борются за один вид пищи. x₁(t) , x₂(t) – числ-ти видов.

(1) – опред детерминированную модель борьбы за пищу.

… в билете процесс РиГ для P_x(t+дt) ; - разностное ур-ие. (3) будем адаптировать (3) к этой модели:

; (4); (3)(4) – вероят-ный аналог (1); m₁₁(t) = E[x(t)] m₁₂(t) = E[x²(t)]; m₂₁(t) = E[y(t)] m₂₂(t) = E[y²(t)]; ₁₁(t) = E[x(t) y(t)] ; применив метод производ ф-ий к (3)(4), получим след. Сист. Ур. Для определенных нами м. о.

(5)