11. Ветвящиеся процессы. Вероятность вырождения.
∢ нек
частицу, кот способна производить новые
подобные ей ч-цы, те в свою очередб также
пор-ют нек кол-во подобных им частиц и
т.д. б считать что
частица с в-ю 
порождает
новых частиц.
Поколение n
порожд пок-ие n+1.
1)
Ядерная
реакция
м трактоваться как ветвящийся процесс
в кот нейтроны сталкиваются с др эл-ми
частицами и это столкновение рождает
новые нейтроны. В рез-те столкновения
рождаются 
потомков, вер-ть столкновения нейтрона
с др частицей = p,
q
= 1 – p;
;
и
.
– частица воспр-ет
под-х частиц. В наилучшем случае пр-сс
разворачивается след образом:
.
2) Выживание
рода
(сохранение нек. Фамилии, потому уч-ся
только пот-ки мужск пола). 
- k-потомков
мужского пола в очередном поколении.
З-ча Гамильтона о в-ти наличия
мужчин в поколении
.
Феллером
приводятся данные по США: 
= 0,4825; 
= 0,2126 
0,5893k-1
3) Генетическая
мутация.
Предп-ся, что ген
-ий
в нек поколении у одного из его
представителей у одного, двух, …, k
потомков. ] возник в популяции новый
ген, как оценить его шансы на выживание.
∢
1 початок кукурузы. ] в у
него
100 семян унасл-ся от условного отца, а
300 от усл матери.
семя получает ген с вер-ю
, т.о. вер-ть, что ген попадет в
генов 1-го поколения опр-ся вер-ю
успехов в 200 испытаниях Бернулли.
Д/большого числа испытаний эту вл-ну м
заменить распр-ем Пуассона с пар-ом
1.
Задача о вер-ти вырождения (осн з-ча ветв-ся пр-ов)
]
- число частиц в поколении
.
Если 
= 1, то 
,
где
, ] 
- произв-ая ф-я, 
,
,
…, 
.
Примеры: ядерная р-я
1) 
;
.
2)
не можем записать кратко, т.к. имеет
общий вид;
3) 
,
= 
;;
- вероятность того, что пр-с оборвется
в поколении
или раньше. 
;
(*). Пр-ая ф-я по опр-ю явл-ся монотонно
возрастающей, поэтому 
↝
.
.
Т.к. 
↝ 
(имеет
предел z).
из (*) ↝
(**). Будем характеризовать наименьший
корень ур-я (**). Очевидно один = 1. По Т. о
x↝
<=> 
.
Т.о. для ур-я (**) возможны 2 различных
ситуации. 1 случай:
,
РИС;
2 случай: 
,
РИС;
Т.о. получили условие по котм узнать
выродится ли ветв-ся пр-с в в-ю 1 или есть
0 вер-ть невыродиться. 
(1)
= 
.
Т.о. образом док-ли след утв: Утв
(Т-ма Гальтона):
Если
,
то вер-ть в-я 
1,
если
↝
-ет
!-ый корень ур-я (**), 
– это предел вер-ти, что процесс оборвется
после кон числа поколений; 
– вер-ть
-го
продолжения пр-са (вер-ть выживания
рода/нового рена/вер-ть ядерного взрыва).
М посчитать мат ож числа потомков
поколения
.
,
,
= 
= 
= 
= 
.
12. Полумарковский процесс. Определение. Прямое уравнение.
]
∢
пр-сс 
описыающий сост с-мы; 
,
,
;
В нек случаях посл-ть
можно таким образом, что 
будет МЦ. Тогда процесс
исследуется в 2 этапа: сначала исследуется
соотв-ая МЦ, а затем на основе результатов
такого анализа исходный сл-ый пр-сс.
Посл-ть
называется вложенной
МЦ.
] 
,
,
– матрица переходов. Опр:
ПМП наз-ся ступенчатый пр-сс 
1) 
;
,
пр-сс сохраняет постоянное знач на
полуинт-ах; 2) Если 
,
мы ∢
;
им соотв-ет 
;
Все эти временные величины явл-ся нез-ми
и имеют след ф-ю распр: 
= 
,
тогда 
(1); Рис – ПМП (значеняи на интервал, не
включая справа), 
(скачки) – образуют МЦ; Рис – вложенный
МП (ступень взразброс); 
– МЦ. Здесь м/у скачками значение м
меняться и в
не обязательно моменты скачков в отличие
от МПМ!!! 
– ф-я распр-я вр-ни до след скачка.
Свойства ПМП сущесвтенным образом
определяются св-ми вложенной в него
МЦ-пи.
- эргодическая, если
.
]
неотриц ф-я 
1) 
,
кроме м.б. их конечного чилоа 
(2); 2) 
(3); Теор1:
Если МЦ явл-ся неприводимой апериодической
и удовл (2), (3), то такая МЦ явл-ся
эргодической.