7. Задача о разорении игрока
2х игроков, кот разыгрывают капитал 
,
при этом у одного из них стартовый
капитал 
,
а у второго 
.
В одном раунде игры p
– вероятность выйграть, q
– проиграть, q
= 1 – p.
Игра прекращается, когда кап-л одного
из игроков стан-ся 0. В одном раунде
ставка = 1 (единица капитала). qz
– вер-ть разорения игрока, кот стартует
с капитала z.
После 1-го раунда капитал игрока либо
z-1,
либо z+1.
Т.о. если 1 < z
< a
– 1, м записать ур-е 
= 
+ 
(1), z=1:
= 
,
z=a-1:
= 
.
Получили с-му ур-ий в конечных разностях,
надо добавить гран условия. ] 
,
- гран условия, ∢
2 разных случая: p
q,
= 1,
= 
;
= 
(2). A,
B
определим из гран-х условий 
↝
= 
(3). Теперь необх пок-ть что (3) - !-ое решение
постр-ой с-мы, т.е. что все решения имеют
вид (2), что мы покажем: ] дано нек произв
решение, тогда подберем A,
B
таким образом, чтобы (2) совпадало с
произв решением в крайних точкам, т.е.
z=0,
z=1.
Из с-мы ур-ий ↝
решение б совпадать и в остальных т-х.
ч.т.д.
;
;
;
используя
гран условия, получим сист ур-ий: { A
= z;
A
+ ba
= 0 } ↝
qz
= 1 – 
(5). Заметич, что (5) также можно получить
из (3) (используя правило Л-ля, переходя
к пр-лу). Важной модификацией этой з-чи,
явл-ся з-ча с
-богатым
игроком до капитала
.
Эта з-ча описывает игру игрока с казино.
– начальный капитал. играет до капитала
.
- выйгрыш или проигрыш игрока (событие).
Мат ожидание 
= 
.
] 
↝
E(G)
= 0. Т.о. при равноправной игре, мат ожидание
выйгрыша в казино = 0. Соотношение вер-тей
выигрыша и проигрыша оказывает весьма
существенное влияние на вер-ть разорения
. Пример:
] p
= q
= 
.
(равноправная), a
= 100 (общий капитал), z
= 999 – стартовый капитал одного из
игроков. P
{выиграть 1 р} = 0,955. ] p
= 0,6 – вер-ть выйгрыша, q
= 0,4. P
{выиграть 1 р} = 
.
как размер ставок влияет на ве-ть
разорения. Т.к. соотношение р-ра ставки
и размера капитала влияет на кол-во
раундов,
кот м сыграть игроки, задача об изм-х
ставках м.б. сведена к начальной з-че о
разорении, путем замены капитала. a
1р – ставка, 2a
50 коп. – стала. A
= 2a.
= 
,
– вер-ть разорения при
.
При уменьшении ставок, вер-ть разорения
уведл-ся.
9. Простое случайное блуждание
-
одна из кл-их з-ч ТВ. Формулировка: ] нек
частица меняет свое положение на мн-ве
целых чисел. Если на нек шаге
процесса
частица
попадает в координату X,
то на след шаге м. перейти в след X+1
c
P
= P,
как в X-1
с 1=1-P.
Другие переходы в этом пр-ве невозможны.
x-1__(1-p)___x__(p)__x+1
x
Z.
Посл коорд-т частицы образует
МЦ, кот явл-ся неприводимой и периодической
с периодом d
= 2.
вер-ти возвращения в это цепи за 2n
шагов: 
;
] 
, введем 
(если
).
Заметим 
.
= 
<
(если k
< 1). Cоотв-но
все сост МЦ - невозвратные, т.е. частица
будет дрейфовать в сторону 
или
.
Теперь ] 
, тогда 
↝
рсх; при этом 
сост явл-ся возвр ненулевыми.