Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpors_MMM.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
24.01.2020
Размер:
14.19 Mб
Скачать

1. Определение Марковской цепи. Уравнение Колмогорова-Чэпмена. Замкнутое множество состояний.

] есть нек система, кот м находится в -ии, . ∢ траекторию с-мы, кот была в состояниях: . Теперь ∢ P{ , …, } = P{ } = P( ; ) = . Если – вер-ть того, что нач-м с-ем в с-ме было , тогда описанное выше МС означает, что вер-ть прох-ия с-мы выбранной нами траектории.

(1) ⤳ P{ } = .

Опр: посл-ть испытаний с переходами наз-ся цепью маркова, если вер-ть совместного исхода опр-ся по ф-ле (1) ч/з начальное распределение { } и – условные вер-ти (вер-ть верехода за 1 шаг); , = (2) ↝ = (3) – уравнение Маркова или ур-е Колмогорова-Чепмена;

Если на шаге m нахожимся в сост а на шаге n в с-ии то м записать вер-ть перехода:

Если = , то это однородная МЦ.

Вероятности перехода за сколько шагов и не зависит сколько шагов прошло.

P = ((P11,…,P1N),…,(PN1,…,PNN))

Свойства: 1) 2)1 Pjk 3) = 1. Матрица обладающая такими св-ми наз-ся стохастической. Любая СМ описывает МЦ; , чтобы получить надо возвести в степень ; тоже ст-ая и тоже определяет МЦ.

Замкнутое множество состояний

Опр: достижимо из , если ; Опр: мн-во C из E (- пр-во состояний), называется замкнутым, если , не достижимо из . Наименьшее замкнутое мн-во является п/мн-ом называется замыканием ; Опр: нек состояние (является замкнутым мн-ом), тогда наз-ся поглощающее мн-во состояния и = 1. Опр: МЦ неприводима, если E = C (замкн мн-во = пр-во состояний). С замкнуто  j, k: , =(2)=> = 0; Критерий неприводимости МЦ: МЦ неприводима  любое её состояние не м.б. достигнуто из любого её состояния; Кроме стох-х матриц переходов применяются графические диаграммы переходов – графы, вершины кот – состояния цепи, дуги осединяют в-ны, если соотв вер-ть перехода за 1 отличается от 0; *Пример*

3. Эргодическое свойство Марковских цепей. Теоремы об эргодических распределениях марковских цепей.

. Опр: Посл-ть стационарное распределение, если оно удовл ур-ю: = , = 1 - система. Теор: Неприводимая апериодическая МЦ принадлежит к одному из след классов: 1) Все состояния невозвратные или возвра-ые 0-ые. ↝ j,k и стац-е распр-е ; 2) Все состояния эргогические ⤳ и = (*). Тогда – стац распр-е и других стац-х распр-ий и ( – ср вр возвр-я в ). Док-во: разбиение непр цепи на классы следует из теор о классах, поэтому а) ∢ случай 2), когда все сост – эргогичкие. ∢ индексы j, n , устремим к . Если предел (*) -ет, то . б) = . Просуммируем ур-я по всем : = , = . Теперь - стац р-е, т.е. СР -ет. Теперь покажем что оно !-но: = , устремим и вопспользуемся пределом (*), получим = = , т.е. стац реш-е !-но и др не ч.т.д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]