9. Планирование эксперимента в условиях неопределенности.

В теории статистических решений, как это следует из слова ‘‘статистический’’ в названии, центральным является вопрос о том, как могут помочь в принятии решения эксперименты, предпринятые с целью выяснения действительной обстановки.

Будем рассматривать этот вопрос, исходя из известных вероятностей состояний природы.

Нам предстоит предпринять некоторую операцию в недостаточно выясненных условиях. Имеет ли смысл для уточнения условий в нашей неопределенной ситуации предпринимать некоторый эксперимент ? Этот вопрос возникает только тогда, когда затраты на эксперимент существенны и сравнимы с тем увеличением выигрыша, который мы можем получить, узнав обстановку более точно. В противном случае (когда цена эксперимента мала), ответ всегда положительный.

Сначала рассмотрим случай ‘‘идеального’’ эксперимента , приводящего к совершенно точному знанию того состояния природы П_j , которое имеет место в данной системе. Пусть задана матрица выигрышей и известны вероятности Q₁, ... , Q_n различных условий П₁, ..., П_n. Пусть затраты на проведение эксперимента равны С.

Без дополнительного эксперимента в качестве решения выбираем ту стратегию А^*=А_i, для которой (из формулы (6.17)) достигается

(6.22)

который и является нашим выигрышем без проведения эксперимента .

Теперь предположим, что мы провели эксперимент и выяснили, какое из состояний П₁, П₂, ... , П_n является действительным состоянием природы. Если это состояние П_j, то мы должны применять ту стратегию А_i, для которой достигается

Но нам нужно заранее решить, будем ли мы проводить эксперимент или нет. Нам не известно, какое из состояний П_j на самом деле имеет место и каков будет наш выигрыш .

Поэтому осредним этот выигрыш с весами, равными вероятностям Q_j :

C учетом стоимости эксперимента наш средний выигрыш с применением идеального эксперимента равняется

(6.23)

Итак, мы должны проводить эксперимент, если величина (6.23) больше величины (6.22). В противном случае эксперимент не проводится.

Можно сделать это правило более простым. Запишем условие ”величина (6.23) больше величины (6.22)”:

(6.24)

Перенесем С в левую часть, а ‘‘max’’ из левой части в правую, переменив знак перед и заменяя ‘‘max’’ на ‘‘min’’:

или

(6.25)

Поскольку есть не что, как риск r_ij , в правой части (6.25) стоит средний ожидаемый риск:

Поэтому правило решения о выполнении эксперимента приобретает следующую форму:

Эксперимент нужно проводить, если затраты на его осуществление меньше минимума среднего риска:

(6.26)

В противном случае следует воздержаться от эксперимента и применить ту стратегию А^*, для которой достигается минимум среднего риска.

Это был случай идеального эксперимента , в результате которого обстановка полностью выясняется.

Рассмотрим теперь случай не идеального эксперимента , который не приводит к выполнению в точности состояния природы П_j, а лишь дает какие-то косвенные свидетельства в пользу тех или других состояний. В наиболее общем виде можно предположить, что эксперимент приводит к появлению одного из k несовместных событий:

B₁, B₂, ... , B_k,

причем вероятности этих событий (исходов эксперимента) зависят от условий, в которых он проводится: П₁, П₂, ... или П_n . Обозначим условную вероятность появления события B_l в условиях П_J через

и будем считать, что все эти условные вероятности нам известны.

После осуществления эксперимента , давшего исход B_l , нам придется пересмотреть вероятности условий: состояние природы П₁, П₂, ..., П_n будут характеризоваться не прежними (априорными) вероятностями Q₁, Q₂, ..., Q_n , а новыми, ‘‘апостериорными’’ вероятностями состояний:

1180 1181