8. Критерий, основанный на известных вероятностях условий. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Рассмотрим критерии для принятия решений.

Наиболее просто решается задача о выборе решения в условиях неопределенности, когда известны вероятности состояний природы:

В этом случае в качестве показателя эффективности (стремление к максимуму) естественно взять математическое ожидание выигрыша:

(6.17)

В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать А^*=А_i, для которой величина обращается в максимум.

Принятое решение оказывается оптимальным не для каждого случая, а в среднем.

Пример 2. Планируется операция в заранее неизвестных метеорологических условиях; варианты этих условий: П₁, П₂, П₃, П₄. Согласно материалам метеосводок за много лет частоты (вероятности) этих вариантов равны соответственно:

Q₁=0.1, Q₂=0.2, Q₃=0.5, Q₄=0.2.

Возможные варианты организации операции в различных метеоусловиях приносят различную выгоду. Значение “дохода” для каждого решения в разных условиях приведены в таблице:

aij	П1 П2 П3 П4	aiср
A1 A2 A3	1 4 5 9 3 8 4 3 4 6 6 2	5.2 4.5 5.0
Qj	0.1 0.2 0.5 0.2

В последней строке даны вероятности условий. Средние выигрыши a_i^ср приведены в последнем столбце. Из него видно, что оптимальной стратегией игрока является его стратегия A^* = A₁, дающая средний выигрыш a_i^ср=5.2.

В такой постановке при выборе решения задачи можно пользоваться не средним выигрышем, а средним риском

(6.18)

Стратегия, максимизирующая средний выигрыш , совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск (можно это показать, найдя величину ).

В случае когда известны вероятности состояний природы Q₁, Q₂, …, Q_n, при решении игры с природой всегда можно обойтись только чистыми стратегиями. Действительно, если мы будем применять какую-то смешанную стратегию

S_A=(p₁, p₂, …, p_m),

то наш средний выигрыш будет

Так как любое среднее не может превосходить максимум из осредняемых величин:

то применять смешанную стратегию S_A не может быть выгоднее, чем А^*.

Вероятности условий (состояний природы) Q₁, Q₂, …, Q_n могут быть определены из статистических данных, свяханных с многократным выполнением подобных операций или просто с проведением наблюдений над состояниями природы. Например, если железной дороге за данный прмежуток времени предстоит выполнить не вполне известный объем перевозок, то данные о распределении условий могут быть взяты из опыта прошлых лет. Если, как в предыдущем примере, успех операции зависит от метеоусловий, данные о них могут быть взяты из статистики метеосводок.

Однако часто встречаются случаи, когда, приступая к выполнению операции, мы не имеем представления о вероятностях состояний природы; все наши сведения сводятся к перечню вариантов состояний, а оценить их вероятности мы не можем. Так, например, вряд ли нам удастся разумно оценить вероятность того, что в течение ближайших k лет будет предложено и реализовано крупное техничнское изобретение.

В подобных случаях вероятности условий (состояний природы) могут быть оценены субъективно: некоторые из них представляются нам более, а другие – менее правдоподобными. Для того, чтобы наши субъективные представления о большей или меньшей “правдоподобности” той или иной гипотезы превратить в численные оценки, могут применяться различные приемы. Например, если мы не можем отдать предпочтение ни одной гипотезе, ни одному из состояний, то естественно положить их вероятности равными друг другу: Q₁=Q₂=…=Q_n=1/n. Это — так называемый “принцип недостаточного основания” Лапласа.

Другой часто встречающийся случай – когда мы имеем представление о том, какие условия более вероятны, какие менее, т.е. можем расположить гипотезы в порядке убывания их правдоподобности: самая правдоподобная - первая гипотеза (П₁), затем вторая (П₂) и т.д.; менее всего правдоподобна n-ая гипотеза (П_n). Вероятности состояний в этом случае назначаются в зависимости от степени правдоподобия гипотез (состояний природы). Например, можно положить вероятности гипотез пропорциональными членам убывающей геометрической прогрессии:

Q₁:Q₂:…:Q_n=n:(n-1):…:1,

или, учитывая, что Q₁+Q₂+…+Q_n=1,

Иногда уда.ется, исходя из опыта и здравого смысла, оценить и более тонкие различия между степенями правдоподобия гипотез.

Кроме таких подходов существуют и другие критерии выбора оптимального решения в условиях неопределенности. Рассмотрим некоторые из них.