Поняття про системи числення.
Під системою числення розуміють сукупність правил іменування та представлення чисел з допомогою символів, які мають конкретні кількісні значення.
Алфавітом системи числення називають набір елементарних символів, комбінаціями яких утворюються довільні числові значення. Кількість таких символів називають основою системи числення. Так, алфавіт звичної людині десяткової системи числення складають десять символів: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, власне тому вона і називається десятковою.
Люди не завжди використовували виключно десяткову систему числення. Про існування дванадцяткової системи свідчить сучасна система відліку часу, комплектування сервізів та великих меблевих гарнітурів, від неї ж походить слово "дюжина". Багато африканських племен користувались п'ятковою, а народи майя та ацтеки – двадцятковою системами числення. Згадані системи числення мають анатомічне походження: п'яткова, десяткова, двадцяткова – від кількості пальців на кінцівках, дванадцяткова – від кількості фалангів на чотирьох пальцях обох рук (за виключенням великих пальців, за допомогою яких і рахувались фаланги). Давні шумери користувались шістдесятковою системою числення, історичним надбанням якої є поділ годин на 60 хвилин, хвилин – на 60 секунд, кутових градусів – на 60 кутових хвилин та кутових хвилин – на 60 кутових секунд.
Розрізняють позиційні і непозиційні системи числення. Позиційними системами числення називають системи числення, в яких значення ("вага") кожної цифри в записі числа залежить від його положення (розряду).
Так, при записі числа 222 в десятковій системі використано три двійки, при цьому двійка в наймолодшому, нульовому розряді (крайня права позиція) означає кількість одиниць у записаному числі; наступна двійка, розташована у першому розряді (сусідній по відношенню до нульового розряду) означає кількість десятків у даному числі; і нарешті, двійка найстаршого, другого розряду (крайня ліва позиція в розглядуваному прикладі) означає кількість сотень, що входить до даного числа:
222 = 2*1 + 2*10 + 2*100
В непозиційних системах числення кожна цифра завжди позначає одну й ту саму величину незалежно від того, в якому розряді знаходиться цифра. Канонічним прикладом непозиційної системи числення є римська. В ній певні числа мають свої символьні позначення:
І |
– |
одиниця |
|
L |
– |
п'ятдесят |
V |
– |
п'ять |
|
С |
– |
сто |
X |
– |
десять |
|
D |
– |
п'ятсот |
Решта чисел записується за допомогою комбінацій цих символів. Як правило, вони компонуються у порядку спадання їх величин зліва направо, при цьому значення чисел складаються, у випадку ж, коли менше число стоїть перед більшим, від значення більшого числа віднімається величина меншого:
VIII |
– |
8; |
|
DCCCLXXXVIII |
– |
888 |
XXXI |
– |
31 |
|
MDCLXVIII |
– |
1668 |
XCIX |
– |
99 |
|
MMIX |
– |
2009 |
Надалі розглядатимемо виключно позиційні системи числення.
Переведення чисел з системи числення з основою Р у десяткову систему.
Представимо число 12345 аналогічно вищенаведеному прикладу, за допомогою якого було дано пояснення суті розташування цифр у числі при їх записі у позиційних системах числення:
12345 = 1*10000 + 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5*1
Перепишемо дану рівність у наступному вигляді:
12345 = 1*104 + 2*103 + 3*102 + 4*101 + 5*100
Можемо зробити висновок, що число, записане в деякій системі числення P, можна представити у вигляді суми добутків цифр, що знаходяться в кожному розряді числа, на основу системи числення у степені, яка дорівнює номеру його розряду:
(XnXn-1…X2X1X0)P = Xn*Pn + Xn-1*Pn-1 + … + X2*P2 + X1*P1 + X0*P0,
де XY – цифра X, яка знаходиться у Y-му розряді числа (XnXn-1…X2X1X0)P, представленому у системі числення з основою Р, n – найстарший розряд даного числа (n ≥ Y ≥ 0).
Для переведення числа з системи числення з основою Р у десяткову систему, необхідно представити дане число у вигляді суми добутків цифр, що знаходяться в кожному розряді числа, на основу системи числення Р у степені, яка дорівнює номеру його розряду, і обчислити значення отриманого виразу у десятковій системі числення, наприклад:
(12345)8 = 1*84 + 2*83 + 3*82 + 4*81 + 5*80 = 1*4096 + 2*512 + 3*64 + 4*8 +
+ 5*1 = 4096 + 1024 + 192 + 32 + 5 = (5349)10
Переведення чисел з десяткової системи у систему з основою Р.
Спробуємо дати відповідь на питання: яким чином можна визначити, скільки у деякому числі, представленому у десятковій системі, міститься одиниць, десятків, сотень тощо.
Очевидно, що кількість одиниць у деякому числі отримається як остача від ділення даного числа націло на 10, тобто на основу системи числення (1-й крок), і визначатиме цифру, що записана у наймолодшому розряді даного числа:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1-й крок |
|
2-й крок |
|
3-й крок |
|
4-й крок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Частка від ділення (1234) визначає загальну кількість десятків у даному числі.
Для отримання цифри, яка означає кількість десятків, що міститься у даному числі, необхідно повторно знайти остачу від ділення отриманої частки на 10 (крок 2). Продовжуючи цілочисельне ділення отримуваних часток на 10, одержуватимемо як остачі цифри, що визначають кількість сотень (крок 3), тисяч (крок 4) тощо, які містяться у даному числі. Остання частка, яку вже неможливо ділити націло на основу системи числення (крок 4), визначатиме цифру у найстаршому розряді числа.
Для того, щоб отримати вихідне число, необхідно отримані цифри записати у зворотньому порядку.
Зрозуміло, що для переведення числа з десяткової системи числення у систему числення з основою Р, треба виконати аналогічні операції ділення, але на основу системи числення Р:
5 |
3 |
4 |
9 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4 |
8 |
|
|
|
6 |
6 |
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
4 |
|
|
6 |
4 |
|
|
8 |
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
8 |
|
|
|
2 |
8 |
|
8 |
0 |
|
1 |
0 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
9 |
|
|
2 |
4 |
|
|
3 |
|
|
8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1-й крок |
2-й крок |
3-й крок |
4-й крок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Дійсно, з математичної точки зору, при виконанні ділення націло даного числа на 8, кількість "вісімкових" десятків у числі отримується як частка (668), а кількість "вісімкових" одиниць – як остача (5). Іншими словами, частка від ділення вказує, скільки разів число 8 (тобто "вісімкових" десятків) можна вилучити з даного числа, а остача – що лишиться від даного числа, якщо із нього вилучити всі вісімки (тобто кількість "вісімкових" одиниць).
Після виконання послідовних операцій ділення числа націло на основу системи числення Р та зворотнього запису результату та остач, отримуємо шукане число:
(5349)10 = (12345)8