3 Нелинейная регрессия

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не даст положительного результата.

Построение и анализ нелинейных моделей имеют свою специфику. Рассмотрим нелинейные модели, допускающие сведение их к линейным. Такие модели называют линейными относительно параметров моделями. Будем рассматривать модели парной регрессии с целью простоты изложения и графической иллюстрации.

3.1 Логарифмические (лог-линейные) модели

Рассмотрим модель парной регрессии. Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой:

(3.1)

где – параметры модели (константы, подлежащие определению).

Это функция может отражать зависимость спроса на благо от его цены (тогда ); зависимость спроса на благо от дохода (тогда ); зависимость объема выпуска от использования ресурса (тогда ).

Для анализа функций вида (3.1) используется логарифмирование по экспоненте. Прологарифмировав обе части, имеем:

(3.2)

Заменим на :

(3.3)

С целью статистической оценки коэффициентов добавим в модель случайную погрешность , в результате получим двойную логарифмическую модель (и зависимая переменная, и объясняющая переменная заданы в логарифмическом виде):

(3.4)

Введем замены и , получаем:

(3.5)

Модель (3.5) является линейной моделью, подробно рассмотренной ранее. Коэффициент определяет эластичность переменной по переменной , т.е. процентное изменение для данного процентного изменения . Действительно, продифференцировав обе части (3.4), получаем:

В случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Для этого определяются точки , , которые затем наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то использование данной модели обоснованно.

При большем числе переменных:

(3.6)

Коэффициенты являются эластичностями переменной по переменной .

3.2 Полулогарифмические модели

Полулогарифмическими моделями являются модели вида (в случае парной регрессии):

(3.7)

(3.8)

Лог-линейная модель

Рассмотрим известную в банковском анализе зависимость:

(3.9)

где – первоначальный вклад в банке; – процентная ставка; – вклад в банке в момент времени .

Прологарифмировав обе части (3.9): и введя обозначение , , а также введя случайное слагаемое , получаем модель вида (3.7):

Полулогарифмическая модель (3.7) легко сводится к линейной модели путем замены , т.е. .

Коэффициент в (3.7) имеет смысл темпа прироста переменной по переменной . Действительно, продифференцировав обе части (3.7), получаем:

Линейно-логарифмическая модель

Линейно-логарифмическая модель (3.8) сводится к линейной модели путем замены: , т.е.:

(3.10)

Коэффициент в (3.8) определяет изменение переменной вследствие единичного относительного прироста . Действительно, продифференцировав обе части (3.8), получаем: