8.5 Оценка систем уравнений
1. Мнк для рекурсивных моделей
Одним
из случаев успешного применения МНК
для оценки структурных коэффициентов
модели является его использование для
рекурсивных
(треугольных) моделей.
В этих моделях эндогенные переменные
последовательно (рекурсивно) связаны
друг с другом. Первая переменная
зависит лишь от экзогенных переменных
и случайного отклонения
.
Вторая эндогенная переменная
определяется лишь значениями экзогенных
переменных
,
случайным отклонением
,
а также эндогенной переменной
.
Третья эндогенная переменная
определяется значениями экзогенных
переменных
,
случайным отклонением
,
а также эндогенных переменных
и
и т.д.
В
этих моделях структурные уравнения
оцениваются поэтапно (
).
Применение МНК для таких моделей
позволяет получить несмещенные и
состоятельные оценки.
Модели данного типа встречаются достаточно редко.
2. Двухшаговый метод наименьших квадратов
Рассмотрим данный метод на примере для модели IS-LM для закрытой экономики при фиксированной налоговой ставке ( ):
Второе уравнение является переопределенным. Для его оценки рекомендуется использовать двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
Шаг 1.
В
уравнении
переопределенной переменной является
процентная ставка
.
Ее можно оценить, лишь опираясь на
экзогенные переменные (например, вычесть
из уравнения (8.11, 1) уравнение (8.11, 2)):
(8.12)
Коэффициенты
предлагается найти самостоятельно по
аналогии с ранее рассмотренными
примерами.
Применяя
для (8.12) МНК, получаем оценку
переменной
:
(8.13)
где
– условная средняя при фиксированных
значениях
.
Шаг 2.
Подставляя оценку (8.13) в уравнение (8.11, 2), имеем:
(8.14)
Данная замена позволяет преодолеть такую существенную проблему переопределенных моделей, как коррелированность объясняющей переменной со случайным членом (что приводит к получению смещенных и несостоятельных оценок). Действительно, оценка выражается только через экзогенные переменные и, следовательно, не коррелирует со случайным членом. Фактически ее можно рассматривать как новую экзогенную переменную.
Заменив в модели (8.11) уравнение (8.11, 2) на (8.14), получаем систему, которую можно решать при помощи МНК.
При наличии в модели более одной переопределенной переменной на первом этапе необходимо оценить все такие переменные.
Список рекомендуемой литературы
Бородич С.А. Эконометрика: Учеб.пособие / С.А. Бородич. – Мн.: Новое знание, 2001. – 408 с.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997. – XIV, 402 с.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб.– 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2000. – 400 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева.– М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.
Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – 160 с.
Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М., 1998.