8.4 Проблема идентификации

Изменение формы уравнений хотя и позволяет устранить проблему коррелированности объясняющей переменной и случайного отклонения, но может привести к другой, не менее серьезной проблеме – проблеме идентификации. Под проблемой идентификации понимается возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Обычно это удается сделать, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений в точности равно количеству этих коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Обычно это происходит, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений меньше числа определяемых коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структурных уравнений с коэффициентами приведенных уравнений, является несовместной. Обычно в таких случаях число уравнений для оценки коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых коэффициентов.

Для быстрого формального определения идентифицируемости структурных уравнений применяются следующие необходимые и достаточные условия. Пусть система одновременных уравнений включает в себя уравнений относительно эндогенных переменных. пусть в системе имеется экзогенных или предопределенных переменных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом на идентифицируемость уравнении равно и соответственно. Переменные, не входящие в данное уравнение, но входящие в другие уравнения системы, назовем исключенными переменными (из данного уравнения). Их количество равно для эндогенных и для экзогенных переменных.

Первое необходимое условие

Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней мере, переменную (эндогенную или экзогенную), присутствующую в модели:

Второе необходимое условие

Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из уравнения экзогенных переменных не меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенного на единицу: .

Знаки равенства в обоих необходимых условиях соответствуют точной идентификации уравнения. Знак «>» свидетельствует о переопределенности. Знак «<» свидетельствует о недоопределенности.

Пример.

1. Для модели «спрос-предложение» проверим условия идентифицируемости:

Для системы . Для каждого из уравнений . Следовательно, для обоих уравнений не выполняется первое условие: . Это означает, что оба они неидентифицируемы.

2. В ту же модель введем экзогенную переменную – доход потребителя:

Для системы . Для первого уравнения . Для второго . Тогда для первого уравнения первое условие не выполняется: . Для второго уравнения выполняются первое условие: ; и второе условие . Это означает, что первое уравнение неидентифицируемо, а второе может быть определено однозначно, т.е. является идентифицируемым.

3. В модели

Для системы . Для каждого из уравнений . Следовательно, для обоих уравнений выполняется первое условие: , и второе условие . Это означает, что оба они идентифицируемы.

4. В предыдущую модель в функцию спроса введем – объем сбережений к моменту времени :

Для системы . Для первого уравнения . Соответственно для него первое условие: ; второе условие: . Для второго . Соответственно для второго уравнения первое условие: , второе условие: . Это означает, что первое уравнение точно идентифицируемо, а второе является переопределенным.