5.2 Обнаружение автокорреляции
Существует несколько методов, позволяющих обнаружить автокорреляцию.
1. Графический метод
Есть
ряд вариантов графического определения
автокорреляции. Один из них увязывает
отклонения
с моментами их получения
.
При этом по оси абсцисс откладывают
либо время получения статистических
данных, либо порядковый номер наблюдения,
а по оси ординат – отклонения
,
либо оценки отклонений
.
Естественно предположить, что на рисунках 5.3, а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рисунке 5.3, д скоре всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
Р
ис.
5.3
Для
случая 5.3, б отклонения сначала являются
отрицательными, затем положительными,
затем снова отрицательными. Это
свидетельствует о наличии между
отклонениями определенной зависимости,
более того, можно утверждать, что в этом
случае имеет место положительная
автокорреляция. Она становится более
наглядной, если построить график
зависимости
от
(рис. 5.4).
Рис. 5.4
Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в первой и третьей четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.
2. Критерий Дарбина-Уотсона
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции. Метод определения автокорреляции на основе критерия Дарбина-Уотсона и пример были подробно рассмотрены в главе 2.3.
5.3 Методы устранения автокорреляции
Основными причинами наличия случайного члена в модели являются несовершенные знания о причинах и взаимосвязях, определяющих то или иное значение зависимой переменной. Поэтому свойства случайных отклонений, в том числе и автокорреляция, в первую очередь зависят от выбора формулы зависимости и состава объясняющих переменных. Так как автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели, то необходимо прежде всего скорректировать саму модель. Возможно, автокорреляция вызвана отсутствием в модели некоторой объясняющей переменной. Следует попытаться определить данный фактор и учесть его в уравнении регрессии. Также можно попробовать изменить форму зависимости (например, линейную на лог-линейную, линейную на гиперболическую и т.д.).
Однако
если все разумные процедуры изменения
спецификации модели, на ваш взгляд,
исчерпаны, а автокорреляция имеет место,
то можно предположить, что она обусловлена
какими-то внутренними свойствами ряда
.
В этом случае можно воспользоваться
авторегрессионным преобразованием. В
линейной регрессионной модели либо в
моделях, сводящихся к линейной, наиболее
целесообразным и простым преобразованием
является авторегрессионная
схема первого порядка
AR(1).
Для простоты изложения AR(1) рассмотрим модель парной линейной регрессии:
(5.1)
Тогда
наблюдениям
и
соответствуют формулы:
(5.2)
(5.3)
Пусть случайные отклонения подвержены воздействию авторегрессии первого порядка:
(5.4)
где
,
– случайные отклонения, удовлетворяющие
всем предпосылкам МНК, а коэффициент
известен.
Вычтем из (5.2) соотношение (5.3), умноженное на :
Примем
,
,
,
и с учетом (5.4) получим:
(5.6)
Так
как по предположению коэффициент
известен, то, очевидно,
,
,
вычисляются достаточно просто.
Однако способ вычисления и приводит к потере первого наблюдения. Число степеней свободы уменьшится на единицу, что при больших выборках не так существенно, но при малых выборках может привести к потере эффективности. Эта проблема обычно преодолевается с помощью поправки Прайса-Винстена:
(5.7)
Рассмотренное авторегрессионное преобразование может быть обобщено на произвольное число объясняющих переменных, т.е. использовано для уравнения множественной регрессии.
На практике значение коэффициента обычно неизвестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Рассмотрим наиболее употребляемые.