1. Дисперсии отклонений известны (метод взвешенных наименьших квадратов)

Данный метод применяется при известных для каждого наблюдения значениях . В этом случае можно устранить гетероскедастичность, разделив каждое наблюдаемое значение на соответствующее ему значение дисперсии. В этом суть метода взвешенных наименьших квадратов (ВМНК).

Для простоты рассмотрим взвешенный метод наименьших квадратов на примере парной регрессии:

(4.5)

Разделим обе части (4.5) на известное :

(4.6)

Обозначив: , , , , получим уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной и с «преобразованным» отклонением , для которого выполняется условие гомоскедастичности:

. (4.7)

Таким образом, ВМНК включает в себя следующие этапы:

1. Значения каждой пары наблюдений делят на известную величину . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются наибольшие «веса», а с максимальными дисперсиями – наименьшие «веса». Это увеличивает вероятность получения более точных оценок.

2. По методу наименьших квадратов для преобразованных значений строится уравнение регрессии без свободного члена с гарантированными качествами оценок.

2. Дисперсии отклонений неизвестны

Для применения ВМНК необходимо знать фактические значения дисперсий . На практике такие значения известны очень редко. Следовательно, чтобы применить ВМНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях .

- Может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям , что отражено на рисунке 4.3.

Рис. 4.3

В этом случае ( – коэффициент пропорциональности). Тогда уравнение (4.5) преобразуется делением его левой и правой части на :

(4.8)

При этом для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Оценив для (4.8) коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (4.5).

Если в уравнении регрессии присутствуют несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной используются значения, рассчитанные по эмпирическому уравнению регрессии: . В этом случае получают следующую регрессию:

(4.9)

- Можно сделать предположение о том, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям , что отражено на рисунке 4.4.

Рис. 4.4

В этом случае необходимо преобразовать (4.5) делением на к виду:

. (4.10)

При этом для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Оценив для (4.10) коэффициенты и , затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (4.5).

Для применения описанных выше методов весьма значимы знания об истинных значениях дисперсий отклонений , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. На практике рекомендуется применять несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки.

Пример. Исследуем зависимость между доходом (Х) домохозяйства и его расходом (Y) на продукты питания. Выборочные данные по 40 домохозяйствам представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

X	Y		X	Y		X	Y		X	Y
25,5	14,5		42,5	14,9		61,0	10,9		79,2	19,8
26,5	11,3		44,2	11,6		61,7	16,1		81,5	21,2
27,2	14,7		44,8	21,5		62,5	10,5		82,4	29,0
29,6	10,2		45,5	10,8		64,7	10,6		82,8	17,3
35,7	13,5		45,5	13,8		69,7	29,0		83,0	23,5
38,6	9,9		48,3	16,0		71,2	8,2		85,9	22,0
39,0	12,4		49,5	18,2		73,8	14,3		86,4	18,3
39,3	8,6		52,3	19,1		74,7	21,8		86,9	13,7
40,0	10,3		55,7	16,3		75,8	26,1		88,3	14,5
41,9	13,9		59,0	17,5		76,9	20,0		89,0	27,3

Построим эмпирическое уравнение регрессии и проведем анализ модели на наличие гетероскедастичности.

По (1.11) определим коэффициенты эмпирического уравнения регрессии: , . Следовательно, уравнение имеет вид: .

Определим отклонения (где ), , ранги и . Рассчитанные величины представим в таблице 4.2.

Таблица 4.2

X	Y				Ранг Х	Ранг (абсол. вел.)
25,5	14,5	11,120	3,380	11,4244	1	25	-33	1089
26,5	11,3	11,280	0,020	0,0004	2	1	-17	289
27,2	14,7	11,392	3,308	10,9429	3	23	-30	900
29,6	10,2	11,776	-1,576	2,4838	4	15	-11	121
35,7	13,5	12,752	0,748	0,5595	5	7	-19	361
38,6	9,9	13,216	-3,316	10,9959	6	24	-4	16
39,0	12,4	13,280	-0,880	0,7744	7	9	-9	81
39,3	8,6	13,328	-4,728	22,3540	8	29	1	1
40,0	10,3	13,440	-3,140	9,8596	9	20	-2	4
41,9	13,9	13,744	0,156	0,0243	10	3	-11	121
42,5	14,9	13,840	1,060	1,1236	11	11	-15	225
44,2	11,6	14,112	-2,512	6,3101	12	16	-2	4
44,8	21,5	14,208	7,292	53,1733	13	37	-25	625
45,5	10,8	14,320	-3,520	12,3904	14	26	5	25
45,5	13,8	14,320	-0,520	0,2704	15	5	-4	16
48,3	16,0	14,768	1,232	1,5178	16	14	-13	169
49,5	18,2	14,960	3,240	10,4976	17	22	-15	225
52,3	19,1	15,408	3,692	13,6309	18	27	-17	289
55,7	16,3	15,952	0,348	0,1211	19	4	-3	9
59,0	17,5	16,480	1,020	1,0404	20	10	-5	25
61,0	10,9	16,800	-5,900	34,8100	21	30	15	225
61,7	16,1	16,912	-0,812	0,6593	22	8	5	25
62,5	10,5	17,040	-6,540	42,7716	23	32	18	324
64,7	10,6	17,392	-6,792	46,1313	24	34	21	441
69,7	29,0	18,192	10,808	116,8129	25	40	-15	225
71,2	8,2	18,432	-10,232	104,6938	26	39	25	625
73,8	14,3	18,848	-4,548	20,6843	27	28	19	361
74,7	21,8	18,992	2,808	7,8849	28	18	-2	4
75,8	26,1	19,168	6,932	48,0526	29	35	-8	64
76,9	20,0	19,344	0,656	0,4303	30	6	7	49
79,2	19,8	19,712	0,088	0,0077	31	2	11	121
81,5	21,2	20,080	1,120	1,2544	32	12	5	25
82,4	29,0	20,224	8,776	77,0182	33	38	-6	36
82,8	17,3	20,288	-2,988	8,9281	34	19	22	484
83,0	23,5	20,320	3,180	10,1124	35	21	4	16
85,9	22,0	20,784	1,216	1,4787	36	13	8	64
86,4	18,3	20,864	-2,564	6,5741	37	17	24	576
86,9	13,7	20,944	-7,244	52,4755	38	36	36	1296
8 Продолжение табл. 4.2 8,3	14,5	21,168	-6,668	44,4622	39	33	35	1225
89,0	27,3	21,280	6,020	36,2404	40	31	4	16

П роанализируем графически остатки, представив зависимость от (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Изучая график, можно обнаружить, что с увеличением возрастает разброс значений , что свидетельствует о наличии гетероскедастичности.

Применим для обнаружения гетероскедастичности тест ранговой корреляции Спирмена. Для этого рассчитаем по (4.1) коэффициент ранговой корреляции:

Рассчитаем -статистику:

.

Из приложения 1 определим критическое значение -статистики для числа степеней свободы и уровня значимости : . Так как рассчитанное значение -статистики превышает критическое, определенное по приложению 1, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется с уровнем значимости .

Проверим гипотезу об отсутствии гетероскедастичности с помощью теста Голдфелда-Квандта. Для этого разобьем ряд на три подвыборки размерности 14, 12, 14.

Определим дисперсии отклонений для первой и третьей подвыборок:

и .

Определим значение -статистики. .

Из приложения 2 определим критическое значение -статистики для числа степеней свободы и уровня значимости : . Так как рассчитанное значение -статистики превышает критическое, определенное по приложению 2, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется с уровнем значимости .

Следовательно, по всем трем тестам гетероскедастичность в данной модели присутствует.