11. Қатты дененің ауырлық центрі. Дененің ауырлық центрінің координаттары. Ауырлық центрінің орнын анықтау тәсілдері: симметриялық пайдалану, қарапайым бөліктерге жіктеу, теріс массалар тәсілі.

Дененің А₁, A₂  нүктелерінде түсетін екі параллель  және  күштерін қарастырайық (3.5 сурет).  тең әсерлі күшінің әсер ету сызығы қосылатын күштерге параллель және  A₁A₂  түзуінде жатқан С  нүктесінен өтеді.  С нүктесінің орнын Вариньон теоремасын қолданып анықтай аламыз: 

,осыдан .        (3.13). ,  күштерін А₁, А₂ нүктелерінің айналасында бірдей α бұрышына бұрғанда, тең әсерлі күші де сол бағытта α  бұрышына бұрылады және дәл сол  С  нүктесіне түседі. С  нүктесі п араллель күштердің центрі деп аталады. Кез келген күштер саны үшін  де осылай болады.  Дене бөлшектеріне түсетін , ,…,  ауырлық күштерінің тең әсерлісін   деп белгілейік (3.6 сурет). Осы күштің модулі дененің салмағы деп аталады және келесі теңдікпен анықталады

.     (3.14). С  нүктесі параллель ауырлық күштерінің центрі болып келеді, ол дененің ауырлық центрі деп аталады. Сонымен, АҚД-нің ауырлық центрі – денемен өзгеріссіз байланысқан  дененің кеңістікте кез келген орналасуында дене бөлшектеріне түсетін ауырлық күштерінің тең әсерлі күшінің әсер ету сызығы өтетін  нүкте. Ауырлық центрінің координаттары келесі формулалармен анықталады

,   ,      (3.15)

мұндағы , , –  ауырлық  күштері түсетін нүктелердің  координаттары.

12 Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері. Нүкте қозғалысы векторлық тәсілмен берілген жағдайда нүктенің жылдамдығы мен үдеуі.

Нүктенің қозғалысы үш тәсілдердің біреуімен берілуі мүмкін. 1. Векторлық тәсіл. М нүктесі Oxyz санақ жүйесіне қатысты қозғалатын болсын. Нүктенің кез келген уақыт мезетіндегі орнын, оның   радиус-векторының (4.1 сурет) t уақытына тәуелдігін беріп, анықтауға болады. 

        (4.1). Бұл векторлық түрде жазылған нүктенің қозғалыс заңы.

2. Координаттық тәсіл. Нүктенің орнын оның уақыт өтуімен өзгеретін координаттарымен тікелей анықтауға болады

.                   (4.2)

Бұл - тік бұрышты декарт координаттарындағы нүктенің қозғалыс заңы.  

  3. Табиғи тәсіл. Нүкте қозғалысын табиғи тәсілмен беру – бұл оның траекториясын (4.2 сурет), траекториясындағы санақ басы мен санақ бағытын және қозғалыс заңын келесі түрде беру  

.        (4.3). Нүкте қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларының біреуі жылдамдық болып келеді. t уақыт мезетінде радиус-векторымен анықталатын М  орнында, ал  t₁ уақыт мезетінде радиус-векторымен анықталатын М₁  орнында болсын дейік  (4.3 сурет). Сонда  уақыт аралығында нүктенің орын ауыстыруы  орын ауыстыру векторымен анықталады. ОММ₁ үшбұрышынан  болатыны көрінеді, яғни . Орын ауыстыру векторының сәйкес уақыт аралығына қатынасы,  нүктенің t  уақыт аралығындағы модулі мен бағыты бойынша ортақ жылдамдығы деп аталатын векторлық шамасын береді,   .

 

 

 

 

 

 

 

 

 векторлық шамасы нүктенің t уақыт мезетіндегі жылдамдығы деп аталады, сонда нүктенің жылдамдығы  векторының t  аргументі бойынша бірінші ретті туындысы болып келеді

.        (4.4). Нүктенің үдеуі - оның жылдамдығының модулі м ен бағытының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайтын векторлық шама. Әлдебір  t  уақыт мезетінде нүктенің орны М  және жылдамдығы болсын, ал t₁ мезетінде нүкте M₁ орнына келіп,  жылдамдығына ие болады дейік (4.4 сурет). Сонда    уақыт  аралығында нүктенің жылдамдығы  өсімін алады,  ол әрқашан траекториясының ойыс жағына бағытталады.  векторының t  аралығына қатынасы нүктенің сол ауқыт аралығындағы орташа үдеуін анықтайды. t   нөлге ұмтылған кезде   ұмтылатын векторлық шама

           (4.5). Нүктенің берілген  t уақыт мезетіндегі үдеуі деп аталады. Сонымен, нүктенің берілген уақыт мезетіндегі үдеу векторы  жылдамдық векторының уақыт бойынша бірінші ретті туындысына, яғни н үктенің радиус-векторының екінші ретті туындысына тең.

13. Нүкте қозғалысы координаттық тәсілімен берілген жағдайда нүктенің жылдамдығы мен үдеуі Келесі теореманы қолданамыз: вектордың туындысының қарастырылатын СЖ-нің қозғалмайтын өсіне проекциясы вектордың сол өске проекциясының туындысына тең. Сонда жылдамдықтың проекциялы үшін келесі орын алады

                        (4.6)

немесе                                    .                  (4.7)

Сонымен, жылдамдықтың координаттық өстерге проекциялары сәйкес координаттардың уақыт бойынша бірінші ретті туындыларына тең. Үдеудің проекциялары үшін келесі болады

,    ,                      (4.8)

немесе       ,                (4.9)

яғни үдеудің координаттық өстерге проекциялары  жылдамдықтың сәйкес проекцияларының уақыт бойынша бірінші ретті туындыларына немесе кординаттардың екі ретті туындыларына тең.

Қозғалыс табиғи тәсілімен берілген жағдайда нүктенің жылдамдығы мен үдеуі Мұнда  мен  векторларын олардың Мnb табиғи үшжақтықтың М  нүктесінен басталып, сонымен бірге қозғалатын өстеріне проекциялары арқылы табылады. Өстердің бағыттары: М - s санағының оң бағытына сәйкес траекторияға жанама бойынша; Мn бас нормалі – траекториямен жанасу жазықтығында траекторияның ойыс жағына жүргізілген нормалі бойынша; Mb бинормалі – алдынғы екі өске перпендикуляр бойынша олармен оң өстер жүйесін құрайтын болып бағытталады.

Нүктенің жылдамдығын анықтаймыз

.                       (4.10)

Нүкте жылдамдығының траекториясына жанама өсіне проекциясы

      .        (4.11)

Осыдан шығар  және жылдамдықтың модулі .

Нүктенің үдеуі үшін

(4.12)

Мұнда   (ρ – қарастырылатын орнында нүктенің траекториясының қисықтық радиусы), сонда

,                                                (4.13)

яғни  үдеу  векторы жанама және нормаль құраушыларының қосындысына тең

             (4.14).  векторы жанасу жазықтығында жатады, яғни Mn жазықтығында. (4.13) теңдігінің екі жағын  М,  Мn  және Mb өстеріне проекциялап,  келесіге келеміз

  .             (4.15)

14. Қатты дененің тұрақты өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысы. АҚД-нің тұрақты (қозғалмайтын) өс төңірегінде айналғанда, оның өсте жатқан нүктелері қозғалмайды (4.5 суретіндегі АВ). Өс арқылы екі жазықтық жүргізейік – қозғалмайтын және денемен байланысып қозғалатын жазықтықты. Олардың арасындағы екі жақтық  бұрышы дененің бұрылу бұрышы деп аталады, ол айналу өсінің оң бағыты жағынан қарағанда сағат тілінің қозғалысына қарсы болып көрінгенде, оң болып есептеледі. АҚД-нің тұрақты өс төңірегіндегі айналу заңы – келесі тәуелділік

 =  (t).       (4.16)

Бұрыштық жылдамдық   бұрышының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды

ω = dφ/dt,  яғни  .                   (4.17)

Дененің бұрыштық жылдамдығын модулі || тең және айналу өсінің бойымен, ұшынан қарағанда дене сағат тілінің қозғалысына қарсы айналатын болып, бағытталған векторымен кескіндеуге болады. Бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдығының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды ε = dω/dt  = d² φ/dt², яғни  .        (4.18). Егер қозғалыс кезінде =const болса, айналу бірқалыпты деп аталады.  (4.17) формуласын  интегралдап, айналу заңын анықтаймыз

 (4.19)

Бірқалыпты айналу кезінде  болса, онда .    (4.19’)

Егер қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу тұрақты болса (ε=const), айналу бірқалыпты айнымалы деп аталады, оның заңы келесі түрде жазылады

.                    (4.20)

Егер   мен   таңбалары бірдей болса, айналу – бірқалыпты үдемелі, әртүрлі болса, бірқалыпты кемімелі болады. Айналатын дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтаймыз (4.6 сурет). Айналу кезінде М нүктесі радиусы h тең, жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр және P центрі  өсте жататын шеңберді кескіндейді. dt уақыт ішінде дене dφ  бұрышына бұрылады, М  нүктесі ds = h∙ dφ орын ауыстыру жасайды. Сонда

.                             (4.21)

Нүктенің үдеулерін анықтаймыз

    (4.22)

 үдеуі траекторияға жанама бағытталады (үдемелі айналу кезінде айналу бағытына сәйкес және кемімелі айналу кезінде айналу бағытына қарсы),  үдеуі әрқашан МP радиусы бойымен өске қарай бағытталады. Нүктенің толық үдеуі

                       (4.23)

  бұрышы (4.6 сурет) келесі тәуелдік арқылы анықталады

.                         (4.24)

 және  векторлары үшін келесі формулуларды шығаруға болады

, (4.25)

                   (4.26)

 

15. Динамиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары. Динамика деп материялық денелердің, олардың инерциясын есепке алуымен күштер әсерінен пайда болатын қозғалысын қарастыратын теориялық механиканың бөлімін атайды. Инерция деп материялық дененің өзінің қозғалыс немесе тыныштық қалпын күштер түспеген кезде сақтап қалу қасиетін айтады. Ілгерілемелі қозғалыстағы дененің инерциясының өлшемі  болып табылатын  зат мөлшеріне тәуелді физикалық шама дененің массасы m деп аталады. Нүкте динамикасы 4 аксиомаға негізделеді.

1-аксиома (инерция заңы): күштер түспейтін материялық нүкте (МН), оған күштер түсіп, қалпын өзгерткенге дейін тыныштықта немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады.  Күштер болмағандағы нүктенің қозғалысы инерциялық қозғалыс деп аталады. Инерция заңы орындалатын санақ жүйесі (СЖ) инерциялық СЖ деп аталады. Көптеген есептерде Жермен байланысқан СЖ инерциялық деп алынады.

2-аксиома (динамиканың негізгі заңы): МН-нің үдеуі оған түсетін күшке пропорционал және сол күшпен бағыттас. Динамиканың негізгі теңдеуі

.          (5.1). 3-аксиома (әсер мен кері әсер заңы): екі МН бір-біріне модульдері тең және нүктелерді қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді. 4-аксиома (күштер әсерінің тәуелсіздік заңы): әр күш бөлек түскенде МН алатын үдеулердің векторлық қосындысы барлық күштер біржолы түскенде алатын үдеуіне тең

     (5.2). (5.2) теңдеуінің орнына (5.1) теңдеуін,  күші ретінде тең әсерлі күшті алып, қолдануға болады. Ауырлық күш әсерінен денелер бірдей  үдеуіне ие болады, ол ауырлық күш үдеуі немесе еркін түсу үдеуі деп аталады. Егер  МН-ге тек қана ауырлық күші түсетін болса, онда (5.1) бойынша .        (5.2)

Дененің массасы оның орналасуына және оған түсетін күштерге тәуелсіз, ал дененің салмағы дене орнының географикалық еніне және оның Жер орталығына дейінгі қашықтығына тәуелді еркін түсу үдеуінің өзгеруімен өзгеріп тұрады. Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері МН { } күштер жүйесінің әсерінен инерциалдық Оxyz санақ жүйесіне қатысты қозғалатын болсын, және күштер арасына байланыстардың реакциялары да кіреді деп есептейміз. (5.2) теңдеуін декарт координат өстеріне проекциялап, декарт координаттарындағы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз

       (5.3)

табиғи өстерге проекциялап, нүкте қозғалысының табиғи дифференциалдық теңдеулерін аламыз

       (5.4)

ҚДТ нүкте динамикасының екі негізгі есебін шешу үшін қолданылады:1-негізгі есеп: нүкте қозғалысы бойынша оған түсетін күшті анықтау. Мұнда МН қозғалысының теңдеулерін дифференциалдап, нәтижелерін (5.3) немесе (5.4) теңдеулеріне қою керек, содан нүктеге түсетін күш анықталады;

2-негізгі есеп: нүктеге түсетін күштер бойынша оның қозғалысын анықтау. Мұнда жалпы жағдайда (5.3) немесе (5.4) дифференциалдық теңдеулерінің екінші интегралдарын табу керек. Дербес жағдайларда ҚДТ айнамалыларды бөлу әдісінің көмегімен интегралдалуы мүмкін.