11.3 Сырықтың майысқан өсінің дифференциалдық теңдеуі және оны

интегралдау

Жазық иілу кезінде арқалықтың майысқан өсі көлденең жүктемелер жатқан жазығындағы қисық сызық болып келеді. Өстің нүктелері көлденең бағытта орын ауыстырады және көлденең қималар бейтарап сызыққа қатысты бұрылады. Сызықтық орын ауыстыруларды (ойысуларды) v деп және бұрыштық орын ауыстыруларды θ деп белгілейміз. θ бұрышы майысқан өске жүргізілген жанамамен сырықтың бастапкы өсі жасайтын бұрышқа тең (11.5 сурет).  v мен θ шамалары z координаттың функциясы болып табылады; оларды қатаңдыққа есептеу жүргізу үшін білу қажет. zy координаттар жүйесінің басын арқалықтың сол жақтағы шетімен біріктіріп, мыныған көз жеткіземіз: v(z)=y(z), tgθ(z)=y′(z), мұндағы y(z) – арқалықтың майысқан өсінің теңдеуі. Сонымен v мен θ шамаларын табу есебі y(z) арқалықтың майысқан өсінің теңдеуін табу есебіне келтірілді. (11.5) тауелділігі орындалады деп есептейміз. y(z) сызығы үшін қисықтығын былай өрнектеуге болады . <<1 болғандықтан, . Осыны ескере отырып, сырықтың майысқан өсінің дифференциалдық теңдеуін мыны түрде аламыз

.                 (11.11)

Бұл теңдеуді аналитикалық түрде тек қарапайым жағдайларда ғана мүмкін. Интегралдаудан шағатын тұрақтылар шекаралық шарттардан табылады.

,      .

 

41. Қиғаш иілу Қиғаш иілу кезінде июші моменттің жазықтығы көлденең қиманың бас инерция өстерінің біреуінен де өтпейді (12.5 сурет). Қи-ғаш иілуді біржолы екі, x және y бас инерция өстеріне қатысты иілу ретінде қарастырған ыңғайлы.  Ол үшін жалпы М июші моментінің векторын M_x = Msin  және  M_y = Mcos  құраушы моменттеріне жіктеу керек.         Координаттары x пен y  нүктедегі тік кернеу келесі формуламен табылады

.            (12.11)

Кернеулер нүктелердің БС дейін қашықтықтарына пропорционал болады, БС теңдеуі осылай жазылады

.         (12.12). J_x≠J_y болғандықтан, қиғаш иілу кезінде БС июші моменттің жазықтығына перпендикуляр емес, яғни сырық июші моменттің жазықтығында иілмейді, ол басқа, иілуге қатаңдығы аз жазықтықта  иіледі.

42. Центрден тыс созылу-сығылу

Ц ентрден тыс созылу (сығылу) кезінде сыртқы күштердің тең әсерлі F күші сырық өсінің бойында,  қарапайым созылу кезіндегідей, жатпайды, ол z өсіне параллель және оның өстен ауытқуы бар (12.6 сурет). Сонда сырық көлденең қималарында N= F бойлық күш және M_x = Fy₀  мен M_y = Fx₀  июші моменттер орын алады (мұндағы x₀ , y₀ – F күші түсірілген А нүктесінің координаттары). Кез келген,  x, y коорди­наттарымен анықталатын В нүктесінде  тік кернеу осыған тең болады

. (12.13). Кернеулер нүктелердің БС дейін қашықтықтарына пропорционал болады, БС-ның теңдеуі осылай жазылады    немесе       .        (12.14)

Координат басынан БС дейін қашықтығы (12.7 сурет) осыған тең

.                        (12.15)

Иілу мен созылудың (сығылудың) біріккен әсері жағдайында жоғарыда көрсетілгендей, күштер әсерінің тәуелсіздігі принципін қолданып,  сырықтың көлденең қималарында қосынды тік кернеулерді анықтайды. Осында қарастырылған барлық жағдайларда беріктікке есептеуді қосынды кернеу бойынша жүргізеді.

43. Иілу мен бұралудың біріккен әсері. Көлденең қимасы дөңгелек, иілу мен бұралудың біріккен әсері жағдайындағы сырықты қарастырайық. Сырықтың көлденең қималарында июші моментпен байланысқан тік кернеулер  және бұраушы моментпен байланысқан жанама кернеулер орын алады (көлденең күштен пайда болатын жанама кернеулерді ескермейміз). Ең үлкен кернеулер A және B  нүктелерінде пайда болады (12.8,а сурет)

, ,   (12.16). Сонда күрделі кернеулі күйдің дербес жағдайы болады – ол қарапайым-далған жазық кернеулі күй (12.8,б сурет). Күрделі кернеулі күй жағдайында материалдың беріктігі жөнінде қорытынды жасауға мүмкіншілік болу үшін эквивалент кернеу ұғымы енгізіледі, ол бағаланатын кернеулік күймен бірдей қауіпті (беріктік кепілдігі бірдей) созылған үлгіде пайда болатын кернеу.  Қарастырылатын жағдайда  3 және 4 беріктік теориялары бойынша эквивалент кернеу келесі формулалармен анықталады

,    .     (12.17)

Осыған (12.17) қойып және дөңгелек қима үшін W_p=2W_x болатынын  ескеріп, көлденең қимасы дөңгелек сырық үшін иілу мен бұралудың біріккен әсері кезіндегі беріктік шартын келесі түрде жазады

,  .     (12.18)