Задача 7

Стальной стержень длиной l сжимается силой F (рис. 7).

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении =160 Мпа = 160 ·10⁶ Па , пользуясь методом последовательных приближений.

2. Определить величину критической силы, если предельная гибкость равна .

3. Вычислить коэффициент запаса устойчивости.

4. Модуль упругости материала Е = 2·10¹¹ Па.

Данные взять из табл. 7.

Таблица 7

Схема №	Форма сечения №	F, кН	l, м

F = ……..·10³ Н.

Рис. 7

μ =…… – коэффициент приведенной длины стержня, зависящий от характера закрепления его концов.

Решение.

1. Размеры поперечного сечения стержня определим исходя из условия устойчивости

, где - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.

Тогда ,

В расчётной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь A. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

• Для упрощения расчётов выразим геометрические характеристики сечения через размер d или а.

Площадь поперечного сечения:

А= = =…………..а² (или ………d²),

отсюда или а = (1)

Минимальный момент инерции (потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости) определяется следующим образом:

= =…………а⁴ (или ………d⁴). (2)

Минимальный радиус инерции:

= а (или ………d). (3)

Приближение 1. В первом приближении коэффициент продольного изгиба обычно принимают , тогда

= м²,

Пользуясь выражениями (1), получим

d₁ = = = м,

или а₁ = = = м,

Из (3) следует

= = м.

Расчётная гибкость колонны:

=

По таблице 7а определяем значение коэффициента , соответствующего этой гибкости. Найденное значение λ₁ расположено между λ^- и λ⁺, которым соответствуют значения коэффициента φ^- и φ⁺.

Таблица 7а

Путём линейной интерполяции:

= .

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении. Напряжение

= Па.

Отличие от допускаемого составляет:

= % > 5%,

что недопустимо. Следовательно, необходимо уточнение требуемых размеров сечения.

Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух

Повторяем расчеты

= м²,

Пользуясь выражениями (1), получим

d₂ = = = м,

или а₂ = = = м,

Из (3) следует

i_{min 2} = = = м.

Расчётная гибкость колонны:

=

Определяем значение коэффициента , соответствующего этой гибкости:

Проверим выполнение условия устойчивости. Рабочее напряжение

= Па.

Отличие от допускаемого составляет:

= % < 5%,

Окончательно принимаем:

_{d = м,}

A = A₂ = м²,

Из (2) находим

I_min = I_{min 2} = = м⁴,

i_{min 2} = i_{min 2} = м,

Находим величину критической силы.

Так как = 100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

= Н.

Если 40 < λ < 100, применяется формула Ясинского

, где а = 310 МПа, b= 1,14 Мпа:

= Па.

Коэффициент запаса устойчивости.

= > 1.