Задача 4

Даны две схемы стальных балок (рис. 4, а, б)

Требуется:

Для схемы «а»:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M.

2. Проверить прочность по нормальным напряжениям в балке сложного поперечного сечения, уже рассмотренного в задаче 1.

3. Вычислить коэффициент использования прочности стали балки.

1. Определить прогиб конца консоли аналитическим методом.

2. Для схемы «б»:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M.

2. Подобрать сечения следующей формы: прямоугольное (h/b = k); круглое; кольцевое (α = d/D); двутавровое.

3. Оценить эффективность формы сечения.

Для всех вариантов принять:

допускаемое напряжение = 240 МПа = 240·10⁶ Па,

модуль упругости (модуль Юнга) E = 2∙10⁵ МПа.

Остальные данные взять из табл. 4

Таблица 4

Схема №	а1, м	а2, м	q, кН/м	F, кН	М, кН·м	k	α

Рис. 4, а

Решение.

Схема «а» (рис.4, а ). Нарисуем балку так, чтобы опора была с левой стороны. Перевернуть зеркально вместе с нагрузкой, если в задании она изображена наоборот.

1. Определяем опорные реакции балки. Заданная балка зафиксирована жесткой заделкой. Характер прикладываемой нагрузки обуславливает необходимость определения только вертикальных реакций опор и , так как горизонтальная составляющая реакции в опоре А равна нулю ( ).Направим момент против часовой стрелки, а силу – вверх.

= 0

= 0,

Решим уравнения:

R = = = кН,

М_А = = = кНм.

Эпюра поперечной силы. Для консольной балки строится, начиная со свободного конца.

Сеч. В: Q = = кН,

сеч. С (справа): Q = = = кН,

сеч. С (слева): Q = = = кН,

сеч. А: Q = = = кН.

Нарисуем эпюру (рис. 4, а).

2. Эпюра изгибающего момента. Строится, начиная со свободного конца.

Сеч. В: М_и = = кН,

сеч. С (справа): М_и = = = кНм,

сеч. С (слева): М_и = = = кНм,

сеч. А: М_и = = = кНм.

Нарисуем эпюру (рис. 4, а).

3. Проверка на прочность.

Максимальный (по модулю) изгибающий момент найдем на эпюре:

|M_и|_max = кНм = ∙10³Нм.

Момент сопротивления сечения изгибу из задачи 1:

W_x = см³ = ·10^-6 м³.

Максимально нормальное напряжение найдем из формулы

Фактический коэффициент запаса прочности:

= > 1 запас прочности достаточный (или недостаточный, если неравенство не выполняется).

5. Прогиб конца балки найдем с помощью универсального уравнения прогибов

Условия на левом конце балки: ,

В нашем случае

Знаки определяются по правилу знаков для изгиба (при отсутствии какой-либо величины слагаемое выбрасывается).

Координата правого (свободного) конца z = a₁ + a₂ = = м,

координата момента М: а = = м,

координата силы F: в = = м,

координата участка действия равномерно-распределенной нагрузки:

c = = м,

d = = м,

момент инерции сечения берется из задачи 1:

J_x = см⁴ = ·10^-8 м⁴.

E = 2·10¹¹Па

Подставим данные

Найдем прогиб

y = м = мм.

Схема «б» (рис.4, б ).

1. Определяем опорные реакции балки. Заданная балка зафиксирована в двух сечениях с помощью шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор. Характер прикладываемой нагрузки обуславливает необходимость определения только вертикальных реакций опор и , так как горизонтальная составляющая реакции в опоре А равна нулю ( ).

. = 0

= 0,

Решим уравнения:

R_В = = = кН,

R_А = = = кН.

4. Эпюра поперечной силы:

Сеч. C: Q = = кН,

сеч. В (справа): Q = = = кН,

сеч. B (слева): Q = = = кН,

сеч. А: Q = = = кН.

Нарисуем эпюру (рис. 4, б).

5. Эпюра изгибающего момента.

Сеч. C: М_и = = кН,

сеч. B (справа): М_и = = = кНм,

сеч. B (слева): М_и = = = кНм,

сеч. А: М_и = = = кНм.

Нарисуем эпюру (рис. 4, б).

Рис. 4, б

6. Определение размеров сечений. Максимальный (по модулю) изгибающий момент найдем на эпюре:

|M_и|_max = кНм = ∙10³Нм.

Момент сопротивления сечения изгибу из условия прочности

= ·10^-3 м³.

• Подбираем прямоугольное сечение. Соотношение сторон .

Так как для прямоугольного сечения момент сопротивления относительно оси X : и по условию , то:

_{, откуда}

= ·10^-1 м = см,

= см.

• Подбираем круглое сечение.

Для круглого сечения осевой момент сопротивления ; тогда

= ·10^-1 м = см.

.

• Подбираем кольцевое сечение. Отношение диаметров .

Для кольцевого сечения осевой момент сопротивления . Тогда

= ·10^-1 м = см,

= см.

.

• Подбираем двутавровое сечение.

Момент сопротивления двутавра должен быть не менее требуемого W_Х = см³.

По ГОСТ 8239-89 принимаем двутавровую балку № … с ближайшим бóльшим значением момента сопротивления, значение которого отвечает условию проектировочной задачи:

см³.

3. Оцениваем эффективность формы сечения.

Для чего сравниваем площади всех подобранных сечений.

_{= см}²_,

_{= см}²_,

_{= см}²_,

см².

Наиболее эффективной формой сечения балки (балка с наименьшим весом) является двутавровое сечение, наименее эффективной – круглое сплошное сечение.