1.6 Используя программный продукт «Пакет экономических расчетов» рассмотрим решение примера 1.

Дано:

Все таблицы получены с помощью пакета экономических расчетов. Для этого открываем папку С/Program Files/ПЭР/Per.exe, открываем файл Per.exe и при нажатие любую клавишу зайдем в главную меню программы. В главном меню предложены 8 видов задач (программ) математического программирования, выбор программы производится клавишами: вниз, вверх и enter.

Таблица 1.5.2 – Исходные данные

Источники, потребления и стоимость перед. единицы ммощности Последняя цифра № зач. кн.	Элементы Ai, Bj ,Cij	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Мощность источников Aij	a11	1	2	1	1	2	1	2	-1	1	6
	a12	1	3	-1	1	1	1	-1	1	2	-1
	a13	2	-4	2	2	1	2	1	2	-3	4
	a14	-6	-5	-1	-	-	-1	2	-	-	2
	a21	1	5	2	2	3	2	2	1	4	-9
	a22	1	-6	1	-3	2	1	1	-5	6	8
	a23	4	1	-3	1	1	-3	1	-1	2	7
	a24	-8	-1	1	-	-	1	1	-	-	1
	a31	4	4	1	2	5	1	-1	1	2	-4
	a32	2	1	1	-5	3	1	4	1	-3	5
	a33	1	-2	1	6	4	1	-2	3	1	6
	a34	-4	3	1	-	-	1	-2	-	-	1
Мощность потребителей Bj	b1	1	1	2	-5	5	2	1	2	4	5
	b2	1	3	6	3	6	6	2	1	10	7
	b3	3	2	7	5	7	7	3	5	1	8
	b4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Знаки ограничений ( ≤ ; ≥; =)	1	=	≤	=	≥	≤	=	≤	≤	=	≤
	2	=	≤	=	≤	=	=	≤	≤	=	≥
	3	=	≤	=	≤	≥	=	≤	≤	=	≥

Для нашего примера мы выбираем программу (задачу) «Линейное программирование», далее заходим в окно /Функции/Ввод новой задачи/, где даем любое имя своей задачи (файл/<Лаб1>) и нажатием enter, выводится окно /Ввод данных Лаб1/. В этом окне предложено 7 пунктов соглашения, в дальнейшим вводим условие максимизации (минимизации) задачи - вводим <1>, количество переменных - <4>, ограничений - < 2>. Нажимая пробел, мы открываем окно, куда вводятся элементы целевой функции и ограничения (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), выбираем в окне /Функций/ -<решение задачи> и /открываются опции меню для решение задачи Лаб1/, там выбираем опцию /решить и вывести все таблицы/, далее поэтапно получаем таблицу 1.6.1 "Начальную таблицу" и все итерации.

Таблица 1.6.1 - Начальная таблица

Базис	C(j)		X1		X2	X3	X4		A1		A2		B(i)		B(i)
8.000		6.000	0	0		- M		- M		A(i,j)
A1	- M		5.000		2.000	1.00	0		1.00		0.00		20.00		0
A2	- M		6.000		12.000	0	1.00		0		1.00		72.00		0
C(j)-Z(j)		8.000		6.000		0	0	0		0		0
* Big M		0		0		0	0	-1.00		-1.00		-92.0

где Х1,…Х4-переменные элементы системы; C(j)- базисные коэффициенты целевой функций; Х1,…,Х4 - коэффициенты ограничений; C(j)-Z(j)- коэффициенты целевой функции.

Таблица 1.6.2 – Итерация 1

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000	0	0	- M	- M	A(i,j)
A1	- M	5.000	2.000	1.00	0	1.00	0.00	20.00	10.00
A2	- M	6.000	12.000	0	1.00	0	1.00	72.00	6.000
C(j)-Z(j)		8.000	6.000	0	0	0	0	0
* Big M		11.00	14.00	1.00	1.00	0	0	-92.0

ТЕКУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ (Max.) = 0 + (-92BigM)

ВВОДИМ : X2 Выводим: A2

Таблица 1.6.3 - Итерация 2

Базис	C(j)	X1	X2	X3	X4	A1	A2	B(i)	B(i)
8.000	6.000	0	0	- M	- M	A(i,j)
A1	- M	4.000	0	1.00	-.167	1.00	-.167	8.000	2.000
X2	6.000	0.500	1.000	0	0.083	0	0.083	6.000	12.00
C(j)-Z(j)		5.000	0	0	-.500	0	-.500	36.00
* Big M		4.000	0	1.00	-.167	0	-1.17	-8.00

ТЕКУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ (Max.) = 36 + (-8BigM)

ВВОДИМ : X1 Выводим: A1

Таблица 1.6.4 – Конечная таблица

Базис	C(j)	X1		X2		X3		X4		A1		A2		B(i)		B(i)
8.000		6.000		0		0		- M		- M		A(i,j)
X1	8.000	1.000		0		0.250		-.042		0.250		-.042		2.000		0
X2	6.000	0		1.000		-.125		0.104		-.125		0.104		5.000		0
C(j)-Z(j)			0		0		-1.25		-.292		-1.25		-.292		46.00
* Big M			0		0		0		0		-1.00		-1.00		0

(Max.) Оптимальная величина ЦФ = 46

Таблица 1.6.5 – Итоговый результат для контрольного примера

Переменн No.Имена	РЕШЕНИЕ	Двойственн.оцен	Переменн No.Имена	РЕШЕНИЕ	Двойственн.оцен
1 X1 2 X2 3 X3	2.0000 5.0000 0.0000	0.0000 0.0000 1.2500	4 X4 5 A1 6 A2	0.0000 0.0000 0.0000	0.2917 0.2917 0.2917
MAX величина цел.ф-и = 46 Итерац.= 2

1.7 Контрольные вопросы

1.7.1 Как строится первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверяется на оптимальность?

1.7.2 Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?

1.7.3 Какой метод решения систем линейных уравнений лежит в основе симплекс - метода?

1.7.4 Какой элемент называется разрешающим?

1.7.5 Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план не является оптимальным?

1.7.6 Этапы нахождение оптимального опорного плана симплекс – методом?

Лабораторная работа № 2

Определение оптимального плана электроснабжения потребителей с помощью транспортных задач

2.1 Цель работы

Целью настоящей работы является составление такого плана перевозок, который обеспечивал бы минимальные стоимости передачи (перевозок) единицы мощности энергии, и который удовлетворял бы спрос всех потребителей за счет распределения энергии, произведенной всеми пунктами источников питания.

2.2 Порядок проведения работы

2.2.1 Проверить транспортную задачу на условие разрешимости и составить матрицу планирования (см. пример таблица 2.6.1).

2.2.2 Найти первоначальный опорный план методом северо-западного угла с помощью пакета экономических расчетов.

2.2.3 Определить оптимальность опорного плана и при необходимости перейти к новому опорному плану.

2.2.4 Построить системы потенциалов и проверить выполнение условия оптимальности для незанятых клеток.

2.2.5 Выбрать клетку, в которую необходимо послать перевозку и построить замкнутый цикл, определив величины перераспределения груза.

2.2.7 Новый план проверить на оптимальность. Если план неоптимальный, то перейти к п. 2.2.5, в противном случае процесс решения заканчивается.

2.3 Оформление результатов работы

Отчет должен содержать:

2.3.1 Исходные данные оформляются как в примере 2.

2.3.2 Все таблицы должны быть заполнены, итоговый результат записан.

2.4 Методические указания

В - пунктах источниках питания находится однородный продукт, (энергия) в количествах, соответственно мощностью источников , который должен быть доставлен - потребителям в количествах, соответственно мощности потребителей . Известны стоимость передачи единицы продукта , связанные с перевозкой единицы продукций из пункта в пункт .

Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивал бы при минимальных стоимости передачи (перевозок) единицы мощности энергии и удовлетворял бы спрос всех потребителей за счет распределения энергии, произведенной всеми пунктами источников питания.

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является равенство (2.1*)

(2.1*)

Если или , то имеем транспортную задачу с открытой моделью.

- матрица расходов (затрат) или матрица стоимости передачи единицы мощности.

Планом ТЗ называется , где каждое число обозначает количество единиц груза, который надо доставить из -го пункта отправления в -го назначения.

- матрица перевозок (передач).

Общие суммарные затраты, связанные с реализацией плана перевозок можно представить целевой функцией:

(2.1)

Математическая модель:

( )

(2.2)

( )

( ; ) (2.3)

Система ограничений задачи содержит уравнений с m n переменными .

Необходимым и достаточным условием решения задачи является то, что ранг матрицы ТЗ должен быть на единицу меньше числа уравнений, т.е. .

Из условия следует, что каждый опорный план имеет базисных переменных и -( )= свободных переменных, равных нулю.

2.4.1 Исходный опорный план можно получить следующими методами

2.4.1.1 Метод северо-западного угла. Для составления исходного опорного плана, заполняем таблицу с левого верхнего (северо-западного) угла, двигаясь далее по строке вправо или по столбцу вниз. Этот метод обычно оказывается далеким от оптимальности, так как не учитывает величины з атрат (расходов) .

2.4.1.2 Методом минимального элемента. Сущность его состоит в том, что заполнение начинается с клетки, которая соответствует минимальному элементу матрицы стоимости передачи единицы мощности (расходов).

Полученные опорные решения транспортной задачи необходимо проверить на оптимальность с помощью метода потенциалов.

2.4.2 Проверка опорного решения на оптимальность проводится с помощью метода потенциалов.

Первоначальный опорный план оптимален при следующих условиях:

1) для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна быть равна стоимости единицы перевозок, стоящей в этой клетке

U^*_i + V^*_j =Cij (2.4)

2) для каждой незанятой клетки сумма потенциалов должна быть меньше или равна единицы перевозки, стоящей в этой клетке

U^*_i + V^*_j ≤Cij (2.5)

Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет условию, то опорный план является неоптимальным и его можно улучшить, вводя в базис вектор, соответствующий клетке, для который нарушается условие оптимальности (в клетку max [(U^*_i+V^*_j)-C_ij] надо переместить некоторое количество единиц груза, т.е. загрузить).

2.5 Задание и исходные данные

Пусть имеются A - электростанций с мощностями , и B -потребители с мощностью потребление . Дана матрица стоимости передачи единицы мощности . Требуется найти минимальную стоимость передачи электроэнергии от электростанций к потребителям.

Для этого: мощность электростанций, - мощность потребителей, -элементы выбирают по предпоследней цифре номера зачетной книжки по таблице 2.5.1.

2.6 Пример выполнения задания

Используя программный продукт ПЭР (Пакет экономических расчетов), рассмотрим пример 2.

Дано:

S₁ =30 D₁=20, D₄=10

S₂=40 D₂=25

S₃=20 D₃=35

Cij =

Таблица 2.5.1 – Исходные данные

Источники, потребления и стоимость пере- дачи .единицы мощности

	Элементы Ai, Bj , Cij	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Мощность источников Ai	a1	140	280	180	70	510	180	150	180	85	120
	a2	180	175	350	40	90	160	170	300	112	280
a3	160	125	20	50	120	140	110	70	72	160
a4	-	130	-	40	-	220	-	100	120	-
a5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Мощность потребителей Bj	b1	60	90	110	30	270	150	110	100	75	130
	b2	70	180	90	50	140	250	120	100	125	220
b3	120	310	120	30	200	120	80	130	64	60
b4	130	130	80	80	110	180	50	180	65	70
b5	100	-	150	-	-	-	70	140	60	-
Стоимость передачи единицы мощности C ij	c11	2	4	7	1	1	18	7	7	7	1
	c12	3	5	12	6	4	2	2	12	1	7
	c13	4	3	4	4	7	3	11	4	4	9
	c14	2	7	8	0	3	12	5	6	5	5
	c15	4	-	5	-	-	-	9	5	2	-
	c21	8	7	1	5	5	3	8	1	13	4
	c22	4	6	8	2	6	4	4	8	4	2
c23	1	2	6	7	8	8	3	6	7	6
c24	4	9	5	3	9	7	6	1	6	8
c25	1	-	3	-	-	-	1	3	3	-
c31	9	1	6	3	7	4	3	6	3	3
c32	7	3	13	4	2	5	5	13	8	8
c33	3	9	8	1	4	6	10	2	0	1
c34	7	8	7	3	8	12	7	7	18	2
c35	2	-	4	-	-	-	8	4	12	-
c41	-	2	-	5	-	7	-	1	9	-
c42	-	4	-	7	-	1	-	5	5	-
c43	-	5	-	2	-	5	-	0	3	-
c44	-	6	-	3	-	6	-	4	4	-
c45	-	-	-	-	-	7	-	3	7	-

Для нашего примера мы выбираем программу (задачу) «Транспортная задача», далее заходим в окно /Функций/ Ввод новой задачи/, где даем любое имя своей задачи. Задача называется - (файл/<Лаб2>) и нажатием enter, выводится окно /Ввод данных Лаб1/. В этом окне предложено 7 пунктов соглашения, в дальнейшим вводим условие максимизации =1 (минимизации=2) задачи вводим <1>, количество поставщиков - <3>, потребителей - <4>. Нажимая пробел, мы открываем окно, куда вводится объем поставок и запрос потребителей (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), заходим в окно, куда вводятся коэффициенты матрицы перевозок единицы мощности (нажимаем enter, пробел и любую клавишу), выбираем в окне /Функций/-<решение задачи> и /открываются опции меню для решение задачи Лаб2/, там выбираем опцию /решить и вывести каждую итерацию/, далее поэтапно получаем "Начальную таблицу", т.е. матрицу планирования и все итерации. На последнем итерации "Конечная таблица", нажимая любую клавишу, выводим конечное решение, т.е. выводим итоговый результат для Лаб2 .

Таблица 2.6.1 – Начальная таблица «Матрица планирования»

Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	2	3	5	4	30	0
S2	3	2	4	1	40	0
S3	4	3	2	6	20	0
Потр	20	25	35	10		0
Vj	0	0	0	0

Таблица 2.6.2 - Итерация 1

Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	20 2	10 3	5	4	30	0
S2	3	15 2	25 4	** 1	40	-1
S3	4	3	10 2	10 6	20	-3
Потр	20	25	35	10		0
Vj	2	3	5	9

Текущая MIN величина ЦФ = 280 с e( 2, 4) =-7

Таблица 2.6.3 – Конечная таблица

Из\В	D1	D2	D3	D4	Пост	Ui
S1	20 2	10 3	5	4	30	0
S2	3	15 2	15 4	10 1	40	-1
S3	4	3	20 2	6	20	-3
Потр	20	25	35	10		0
Vj	2	3	5	2

MIN величина ЦФ = 210

Таблица 2.6.4 – Итоговый результат для ЛАБ 2

ИЗ	В	Поставка	Оценка	ИЗ	В	Поставка	Оценка
S1	D1	20.0	2.000	S2	D3	15.0	4.000
S1	D2	10.0	3.000	S2	D4	10.0	1.000
S1	D3	0.0	5.000	S3	D1	0.0	4.000
S1	D4	0.0	4.000	S3	D2	0.0	3.000
S2	D1	0.0	3.000	S3	D3	20.0	2.000
S2	D2	15.0	2.000	S3	D4	0.0	6.000

MIN величина ЦФ = 210 (возм. неоднозн.) Итераций = 1

2.7 Контрольные вопросы

2.7.1 Построение первоначального опорного плана транспортной задачи линейного программирования (методы построения).

2.7.2 Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и запишите ее математическую модель.

2.7.3 Дайте определение открытой и закрытой транспортных задач, в чем отличительные особенности их решения?

2.7.4 Метод потенциалов.

2.7.5 Условия оптимальности плана транспортной задачи линейного программирования?

Лабораторная работа № 3

Имитационные исследования трансформаторов в среде Electronics Workbench.

3.1 Цель работы

3.1.1 Изучить принцип действия и основные закономерности электромагнитных процессов, происходящие в трансформаторах.

3.1.2 В среде Electronics Workbench имитировать процесс исследования трансформаторов в режимах холостого хода, короткого замыкания и под нагрузкой.

3.1.3 Провести анализ осциллограмм тока I₂(t), напряжения U₂(t) при активной, индуктивной и смешанной нагрузке трансформатора.

3.2 Средства для имитационного исследования трансформаторов

В лабораторной работе используются следующие элементы Electronics Workbench:

•  источники переменного напряжения;

•  резисторы;

•  конденсаторы;

•  катушки индуктивностей;

•  трансформаторы;

•  вольтметры;

•  амперметры;

•  осциллографы;

•  блок ваттметра.

3.3 Краткие теоретические сведения

Трансформатор состоит из замкнутого стального магнитопровода, на котором располагаются две или несколько обмоток, электрически не соединенные между собой.

Часть магнитопровода, на котором располагаются обмотки, называется стержнем. Обмотка, к которой электрическая энергия подается, называется первичной; другая обмотка, к которой присоединяются приемники энергии, называется вторичной.

3.3.1 Режим холостого хода трансформатора

Подведем к первичной обмотке трансформатора синусоидальное напряжение u₁ = U_1M sin ωt (рисунок 3.1).

Рассмотрим процессы при разомкнутом рубильнике p₂, т.е. когда вторичная обмотка трансформатора не замкнута (режим холостого хода).

Под действием приложенного напряжения в первичной обмотке возникнет переменный ток, который аналогично току в цепи с индуктивностью будет отставать от напряжения по фазе на угол, близкий к 90°, а в магнитопроводе трансформатора возникнет переменный магнитный поток, практически совпадающий по фазе с током и пронизывающий витки обеих обмоток трансформатора. Переменный магнитный поток наводит в первичной и во вторичной обмотках трансформатора э.д.с.

На основании второго правила Кирхгофа, пренебрегая падением напряжения в первичной обмотке, можно определить действующее значение напряжения на зажимах первичной обмотки и действующее значение э.д.с, наведенной в первичной обмотке

U₁ = E₁ = 4,44 f ω₁ Ф_М. (3.1)

Мгновенное значение напряжения на зажимах разомкнутой вторичной обмотки равно мгновенному значению е₂ . Таким образом,

u₂ = e₂

U₂ = E₂ = 4,44 f ω₂ Ф_М. (3.2)

Схема соединения трансформатора

Р исунок 3.1

Отношение э.д.с обмотки высшего напряжения к э.д.с. обмотки низшего напряжения называется коэффициентом трансформации (обозначение k.). При холостом ходе оно равно

k = U₁/U₂ (3.3)

или

. (3.4)

Если >l трансформатор носит название понижающего, то при <1 - повышающего. Как было уже упомянуто, ток в первичной обмотке при режиме холостого хода отстает от напряжения на угол φ₁, близкий к 90°. Косинус угла φ₁ при холостом ходе составляет около 0,1. Величина тока I_X при холостом ходе составляет (3 ÷ 8)% номинального тока первичной обмотки. Произведение I_X ω₁ при холостом ходе называется намагничивающей силой трансформатора и обозначается F_X. Таким образом,

F_X = I_X ω₁. (3.5)