№ п/п

Задание

Алгоритм

1

Точка на плоскости а) Определить, лежит ли точка на плоскости

1. В уравнение плоскости подставить вместо текущих координат х, у, z координаты данной точки

2. Если при этом получится тождество (верное равен- ство), то точка лежит на плоскости, в противном случае - нет

б) Найти координаты какой-нибудь точки

, лежащей на плоскости

1. Двум координатам из трех следует присвоить произвольные значения: причем, если , то -произвольные; если , то -

произвольные, если же , - любые числа.

2. Подставить выбранную пару координат в уравнение плоскости.

3. Из полученного относительно третьей координаты уравнения, найти значение этой координаты

2

Найти вектор нормали к плоскости по двум векторам и

, лежащим в плоскости

1. Проверить, будут ли векторы и неколлинеарны (их соответствующие координаты не пропорциональны). В случае коллинеарности векторов и , задача не имеет единственного решения.

2. Найти векторное произведение

3. Положить вектор равным т.е.

3

Найти расстояние d от точки до плоскости

Вычислить расстояние d по формуле

4

Каноническое и параметрическое уравнение прямой а) Написать каноническое уравне­ние прямой по двум точкам

и

1. Вычислить координаты вектора

2. Взять направляющим вектором прямой вектор

3. Написать каноническое уравнение прямой, прохо- дящей через точку (можно ) с направляющим

вектором

б) Написать параметрическое урав­нение прямой, заданной канони­ческим уравнением

1. Обозначить коэффициент пропорциональности

через t (параметр)

2. Из полученных равенств выразить координаты

№ п/п

Задание

Алгоритм

5

Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей

1. Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого надо найти какое-нибудь решение системы. (*)

Одной из переменных следует присвоить произвольное значение (удобно брать значение равное нулю) и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: если , то положить ,

если , то ,

если , то ,

2. Выписать координаты векторов нормали

и

3. Найти векторное произведение

4. Взять направляющим вектор прямой

5. Написать каноническое уравнение прямой

6

Найти точку пересечения прямой

с плоскостью

1. Записать параметрические уравнения заданной прямой (см. ум. 4).

2. Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости:

3. Из последнего уравнения вычислить значение параметра t .

4. а) если найденное значение t единственно, то подставив его в параметрическое уравнение прямой, получим единственную точку пересечения ;

б) если уравнение для t несовместно, точек пересечения нет, прямая параллельна плоскости;

в) если уравнение справедливо при любом t , то прямая лежит на плоскости - точек пересечения множества.

Замечание. Фактически здесь описан один из способов решения совместного уравнения плоскости и прямой

№ п/п

Задание

Алгоритм

7

Определить тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению (в уравнении отсутствуют произве­дения координат)

1. В выражениях

выделить полные квадраты и записать исходное уравнение в виде:

2. Выписать преобразование координат при параллельном сдвиге системы координат в «новое» начало

3. Подставить полученные выражения в уравнение записанное в п.1, получить каноническое уравнение поверхности.

4. По каноническому уравнению определить тип поверхности и ее параметры.

8

Определить по каноническому уравнению цилиндра второго порядка: а) уравнение его направ­ляющей; б) какой из координатных осей параллельны его образующие.

1. Уравнение направляющей (в одной из координатных плоскостей) совпадает с уравнением цилиндра.

2. Образующие параллельны той координатной оси, «название» которой в уравнении цилиндра отсутствует (например, если отсутствует Z - то оси OZ).

3. Построить чертеж