3. Наибольшее и наименьшее значения функции

Так же, как и для функции одной переменной, для функций многих переменных имеет место следующее утверждение.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве ⁶ , то она ограничена на нём и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки такие, что

Для нахождения и поступают следующим образом:

1) Находят сначала все критические точки функции лежащие внутри (т.е. в области ) и вычисляют значения функции в этих критических точках;

2) Вычисляют наибольшее и наименьшее значения на границе

3) Среди всех найденных значений выбирают наименьшее и наибольшее. Они и будут равны и соответственно.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Решение. Данная область является треугольником с вершинами стороны которого расположены на прямых (рис. 1).

1) Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

1) Найдем критические точки внутри области. Вычислим частные

производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

2 ) Найдем стационарные точки на стороне AO . Координаты точек, лежащих на AO удовлетворяют условиям . Тогда рассматриваемая функция принимает вид . Критическая точка определяется из условия

Вычислим значение функции в найденной точке

3) Рассмотрим точки, лежащие на стороне OB. Их координаты удовлетворяют условиям . При этом имеем , то есть на стороне OB критических точек нет.

4) Найдем критические точки на стороне AB . Здесь

Из уравнения находим критическую точку . Однако она не принадлежит рассматриваемому отрезку.

5) Найдем значения функции в вершинах треугольника

Так как единственная критическая точка совпала с вершиной треугольника O(0,0) , выберем

наибольшее и наименьшее из этих значений. Итак, функция принимает наибольшее значение

в точке наименьшее значение в точке .

4. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Если экстремум функции нескольких переменных вычисляется при наличии ограничений (связей) на независимые переменные⁷, то говорят об условном эстремуме этой функции. Задача об условном экстремуме ставится так: найти экстремум функции при наличии связей Дадим алгоритм решения этой задачи:

1. Составляем функцию Лагранжа

2. Находим критические точки этой функции из системы уравнений

3. Вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа (считая постоянными):

в фиксированной критической точке , присоединяем к нему соотношения

из которых выражаем зависимые дифференциалы как функции независимых, подставляем их

в и устанавливаем знак полученного выражения при условии что независимые дифференциалы изменяются в некоторой окрестности нуля. Если , то точка будет точкой условного минимума, если то точка будет точкой условного максимума. И наконец, если изменяет знак в любой окрестности нуля плоскости независимых дифференциалов, то в точке не будет условного экстремума.

Покажем, как работает этот алгоритм, на конкретном примере. При этом ради простоты будем рассматривать функцию двух переменных и одну связь Пусть требуется найти экстремумы функции при условии

Запишем функцию Лагранжа

.

Вычисляем частные производные и составляем систему уравнений:

Получили две критические точки: функции Лагранжа. Так как

то Здесь дифференциалы подчиняются условию поэтому Отсюда видно, что в точке будет поэтому в точке функция имеет условный минимум:

z_min=

В точке будет поэтому в точке функция имеет условный максимум:

z_max=