3. Дифференцируемость функций многих переменных, связь с частными производными. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости

Для функции одной переменной дифференцируемость равносильно существованию конечной производной. Для функций многих переменных это не так. Перейдем к разъяснению этого факта.

Определение 4. Говорят, что функция (определенная в точке и некоторой её окрестности) дифференцируема в точке если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где числа, не зависящие от и При этом линейная часть приращения (3) называется дифференциалом функции в точке и обозначается

Теорема 3 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные, причем где и совпадают с числами, указанными в (3). При этом ²

Доказательство. Пусть дифференцируема в точке Тогда имеет место представление (3), верное для любых приращений лишь бы Значит, оно верно в частности и для приращений Для таких приращений соотношение (3) записывается в виде

Это означает, что существует частная производная Взяв приращения вида получим, что существует частная производная И, наконец, если

в (3) перейти к пределу при то получим, что Это означает, что функция непрерывна в точке Теорема доказана.

Замечание 2. Из существования частных производных не вытекает дифференцируемость функции в точке Например, для функции

частные производные _j существуют и равны нулю, но эта функция не является дифференцируемой в точке (докажите это в качестве упражнения).

Теорема 4 (достаточные условия дифференцируемости). Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности частные производные и Если эти производные непрерывны в точке то функция дифференцируема в точке

Упражнение 1. Покажите, что функция имеет в точке и некото-рой её окрестности частные производные и но они не являются непрерывными в ука-

занной точке (поэтому дифференцируемость в точке нельзя гарантировать).

Лекция 2. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция и её дифференцирова-

ние. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Скалярное поле. Градиент и его связь с производной поля по направлению

Если даны функции

то можно образовать сложную функцию При этом областью определения сложной функции будет множество таких что выражение имеет смысл. Мы будем рассматривать в основном сложные функции вида и . Все утверждения, сформулированные для таких функций, очевидным образом переносятся и на общие типы сложных функций.